Классические теоремы дифференциального исчисления — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Начал пилить.)
 
(+теорема Ролля)
Строка 4: Строка 4:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0)</tex>
+
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) </tex>.
 
+
<br />
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0)</tex>
+
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 19: Строка 19:
 
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
 
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
  
<tex> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.  
+
<tex dpi= "150"> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.  
  
 
Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.
 
Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.
Строка 28: Строка 28:
  
 
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
 
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>
+
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, <tex> y(x) = x^3, y'(0) = 0,</tex> но <tex> y(0) </tex> - не экстремум.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Корень уравнения <tex>f'(x) = 0</tex> называется '''стационарной точкой'''.
 +
}}
 +
 
 +
= Теорема Ролля о нулях производной =
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Ролль
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, дифференцируема на <tex>(a, b)</tex> и <tex>f(a) = f(b)</tex>. Тогда существует точка <tex> c \in (a; b)</tex>, такая, что <tex> f'(c) = 0</tex>.
 +
|proof=
 +
<tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть <tex> x_1 </tex> - точка минимума, <tex> x_2 </tex> - точка максимума.
 +
 
 +
Рассмотрим 2 случая:
 +
 
 +
1) Обе точки граничные, то есть <tex> x_1, x_2 </tex> находятся на концах отрезка. Тогда, так как <tex> f(a) = f(b) </tex>, то <tex> f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] </tex>. Значит, <tex> f(x) </tex> на <tex> [a; b] </tex> - константа, то есть <tex>\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0</tex>
 +
 
 +
2) Хотя бы одна из точек <tex> x_1, x_2 </tex> не граничная. Пусть это, например, <tex> x_1 </tex>. Тогда по теореме Ферма <tex> f'(x_1) = 0</tex>.
 
}}
 
}}

Версия 05:49, 5 января 2011

Эта статья находится в разработке!

Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке

Определение:
Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального минимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) [/math].


Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального максимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) [/math].


Сами значения [math] f(x_o) [/math] называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.

Теорема (Ферма):
Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] - точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда [math] x_0 [/math] - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.

[math] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}[/math]; рассмотрим [math] \Delta x \approx 0 [/math].

Заметим, что, по определению локального минимума, [math] f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 [/math].

Возможны 2 случая для [math] \Delta x [/math]:

1) [math] \Delta x \lt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 [/math]

2) [math] \Delta x \gt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 [/math]

Отсюда, [math] f'(x_0) = 0 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, [math] y(x) = x^3, y'(0) = 0,[/math] но [math] y(0) [/math] - не экстремум.


Определение:
Корень уравнения [math]f'(x) = 0[/math] называется стационарной точкой.


Теорема Ролля о нулях производной

Теорема (Ролль):
Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], дифференцируема на [math](a, b)[/math] и [math]f(a) = f(b)[/math]. Тогда существует точка [math] c \in (a; b)[/math], такая, что [math] f'(c) = 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть [math] x_1 [/math] - точка минимума, [math] x_2 [/math] - точка максимума.

Рассмотрим 2 случая:

1) Обе точки граничные, то есть [math] x_1, x_2 [/math] находятся на концах отрезка. Тогда, так как [math] f(a) = f(b) [/math], то [math] f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] [/math]. Значит, [math] f(x) [/math] на [math] [a; b] [/math] - константа, то есть [math]\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0[/math]

2) Хотя бы одна из точек [math] x_1, x_2 [/math] не граничная. Пусть это, например, [math] x_1 [/math]. Тогда по теореме Ферма [math] f'(x_1) = 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]