Классические теоремы дифференциального исчисления

Материал из Викиконспекты
Версия от 07:49, 5 января 2011; Sementry (обсуждение | вклад) (+теорема Лагранжа)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке

Определение:
Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального минимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) [/math].


Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального максимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) [/math].


Сами значения [math] f(x_o) [/math] называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.

Теорема (Ферма):
Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] - точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда [math] x_0 [/math] - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.

[math] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}[/math]; рассмотрим [math] \Delta x \approx 0 [/math].

Заметим, что, по определению локального минимума, [math] f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 [/math].

Возможны 2 случая для [math] \Delta x [/math]:

1) [math] \Delta x \lt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 [/math]

2) [math] \Delta x \gt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 [/math]

Отсюда, [math] f'(x_0) = 0 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, [math] y(x) = x^3, y'(0) = 0,[/math] но [math] y(0) [/math] - не экстремум.


Определение:
Корень уравнения [math]f'(x) = 0[/math] называется стационарной точкой.


Теорема Ролля о нулях производной

Теорема (Ролль):
Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math], дифференцируема на [math](a, b)[/math] и [math]f(a) = f(b)[/math]. Тогда существует точка [math] c \in (a; b)[/math], такая, что [math] f'(c) = 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math], значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть [math] x_1 [/math] — точка минимума, [math] x_2 [/math] — точка максимума.

Рассмотрим 2 случая:

1) Обе точки граничные, то есть [math] x_1, x_2 [/math] находятся на концах отрезка. Тогда, так как [math] f(a) = f(b) [/math], то [math] f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] [/math]. Значит, [math] f(x) [/math] на [math] [a; b] [/math] - константа, то есть [math]\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0[/math]

2) Хотя бы одна из точек [math] x_1, x_2 [/math] не граничная. Пусть это, например, [math] x_1 [/math]. Тогда по теореме Ферма [math] f'(x_1) = 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: для непрерывной функции на заданном отрезке ей принимаются все значения между двумя граничными значениями. Такое же свойство выполняется и для ее производной, хотя она может быть уже разрывной.

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Теорема (Дарбу):
Пусть [math] f(x) [/math] дифференцируема на [math] [x_1; x_2], A = f'(x_1), B = f'(x_2)[/math]. Тогда [math] \forall D \in [A; B] \ \exists d \in [x_1; x_2]: D = f'(d) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для определенности считаем, что [math] A \lt B [/math], обратный случай доказывается аналогично.

Рассмотрим вспомогательную функцию [math] g(x) = f(x) - Dx; g'(x) = f'(x) - D [/math]

[math] D \in [A; B] \Rightarrow g'(x_1) \lt 0, g'(x_2) \gt 0 [/math].

По определению производной, [math] g(x_1) = \frac{g(x_1 + \Delta x) - g(x_1)}{\Delta x} [/math]

При [math] \Delta x \approx 0, \Delta x \gt 0 \ g(x_1 + \Delta x) \lt g(x_1) [/math]

Аналогично рассмотрим [math] g'(x_2) [/math]: при [math] \Delta x \approx 0, \Delta x \lt 0 \ g(x_2 + \Delta x) \lt g(x_2) [/math]

Функция [math] g(x) [/math] - дифференцируема, а значит, также и непрерывна на [math] [x_1, x_2] [/math], поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.

Пусть оно достигается в точке [math] d \in (x_1; x_2) [/math], тогда по теореме Ферма в этой точке [math] g'(d) = 0[/math]. Значит, [math] f'(d) = g'(d) + D = D [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Лагранж):
Пусть [math] f [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math] и дифференцируема на [math] (a; b) [/math]. Тогда [math] \exists c \in (a; b): [/math] [math] \frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/math] [math] = f'(c) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим вспомогательную функцию [math] g(x) = (f(x) - f(a)) - k(x - a), k = [/math] [math] \frac{f(b) - f(a)}{b - a}[/math].

Заметим, что [math] g(a) = g(b) = 0 [/math], значит, по теореме Ролля, [math] \exists c \in (a; b): g'(c) = 0 [/math].

Но [math] g'(x) = f'(x) - k [/math], значит, [math] f'(c) = k = [/math] [math]\frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/math]
[math]\triangleleft[/math]