Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Материал из Викиконспекты
Версия от 06:08, 2 января 2012; Dgerasimov (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Теорема Лебега == {{Теорема |author= Лебег |about= о мажорируемой сходимости |statement= Пусть на E \subset...»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лебега

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):
Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.
[math]\triangleleft[/math]
\varphi d \mu < \varepsilon

\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|

\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)

A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.

Тем самым, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать. }}

Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

\forall \varepsilon > 0

\int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E