Редактирование: Классические теоремы теории измеримых функций

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
  
== Лемма ==
 
 
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
 
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
  
Строка 7: Строка 6:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex> <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_k </tex>, такая что <tex>\{f_{n_k}(x)\} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>  
 
Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex> <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_k </tex>, такая что <tex>\{f_{n_k}(x)\} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>  
(Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
+
(Другими словами, из сходимости в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
 
|proof=
 
|proof=
Для начала, докажем следующее утверждение:
+
Для начала, докажем от нечего делать обратное утверждение:
  
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
Строка 93: Строка 92:
 
|proof=Это же очевидно!
 
|proof=Это же очевидно!
  
<nowiki>[[Файл:dodonovface.jpg]]</nowiki>
+
[[Файл:dodonovface.jpg]]
 
Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].
 
Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].
 
}}
 
}}
Строка 108: Строка 107:
 
Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная:
 
Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная:
  
<tex>\forall \delta>0: \lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) < \lambda E(\varphi_n \ne f)</tex>.
+
<tex>\forall \delta>0: E(|\varphi_n - f| > \delta) < E(\varphi_n \ne f)</tex>.
  
 
<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.
 
<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.
Строка 120: Строка 119:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Егоров
 
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br>
+
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>\delta > 0</tex>.
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
+
Тогда <tex>\exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
 
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
Строка 135: Строка 134:
 
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
 
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
  
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2^p} = \delta</tex>.
+
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p} = \delta</tex>.
  
 
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит,  
 
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит,  
 
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' > \mu E - \delta</tex>.
 
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' > \mu E - \delta</tex>.
  
Пусть <tex> E'' = \bar E' </tex>.
+
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_m(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.
 
 
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.
 
  
 
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;
 
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;
Строка 154: Строка 151:
 
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f</tex>.
 
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
  
 
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: