Классы чисел — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
==Определение натуральных чисел==
 
==Определение натуральных чисел==
 
''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
 
''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
Строка 26: Строка 5:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
+
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
 
}}
 
}}
  
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
+
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
+
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
 
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
 
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
  
Строка 46: Строка 25:
 
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
 
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
 
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
 
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
+
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
 
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
 
:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
 
:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
Строка 104: Строка 83:
 
}}
 
}}
  
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
+
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
  
Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
+
Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
  
 
===Определение комплексных чисел===
 
===Определение комплексных чисел===
Строка 112: Строка 91:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
+
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> вещественные числа, <tex>i</tex> мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
+
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
 
}}
 
}}
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
+
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
  
  

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Определение натуральных чисел

Oсновная статья: Натуральные числа

Неформальное определение

Определение:
Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).


Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb{N}[/math]. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:
Множество [math]\mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1\in\mathbb N[/math] (единица) и функция [math]S\colon\mathbb N\to\mathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия
  1. [math]1\in\mathbb{N}[/math] ([math]1[/math] является натуральным числом);
  2. Если [math]x\in\mathbb{N}[/math], то [math]S(x)\in\mathbb{N}[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. [math]\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)[/math] ([math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math], тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math], так и за числом [math]c[/math], то [math]b=c[/math]);
  5. Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math]. Тогда:
если [math]P(1)[/math] и [math]\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))[/math], то [math]\forall n\;P(n)[/math]
(Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math], верно и [math]P(n+1)[/math] (индукционное предположение), то [math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math]).


Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • [math]0=\varnothing[/math]
  • [math]S(n)=n\cup\left\{n\right\}[/math]

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • [math]0=\varnothing[/math]
  • [math]1=\left\{\varnothing\right\}[/math]
  • [math]2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}[/math]
  • [math]3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}[/math]

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел

Определение целых чисел

Определение:
Множество целых чисел (англ. integers) [math]\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,[/math] определяется как замыкание множества натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math] относительно арифметических операций сложения [math](+)[/math] и вычитания [math](-)[/math].

Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел [math](1, 2, 3)[/math], чисел вида -n ([math]n\in\mathbb{N}[/math]) и числа ноль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500).

Определение рациональных чисел

Определение:
Множество рациональных чисел (англ. rational numbers) обозначается [math]\mathbb{Q}[/math] и может быть записано в виде:
[math]\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.[/math]

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, [math]\dfrac{3}{4}[/math] и [math]\dfrac{9}{12}[/math], входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

[math]\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.[/math]

Здесь [math]\gcd(m, n)[/math] — наибольший общий делитель чисел [math]m[/math] и [math]n[/math].

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа [math]a=\dfrac{m}{n}[/math] знаменатель [math]n=1[/math], то [math]a=m[/math] является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Определение вещественных чисел

Oсновная статья: Вещественные числа

Определение:
Веще́ственное число (англ. real number) — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.


С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R (полужирное «R»), или [math]\mathbb{R}[/math] (blackboard bold «R») от realis — действительный.

Определение комплексных чисел

Определение:
Ко́мпле́ксные чи́сла (англ. complex number) — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается [math]\mathbb{C}[/math]. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма [math]x+iy[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] — вещественные числа, [math]i[/math] — мнимая единица (одно из решений уравнения [math]x^2 = -1[/math]).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени [math]n[/math] с комплексными коэффициентами имеет ровно [math]n[/math] комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.


См. также


Источники информации