Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁

Определение

Определение:

[math]\mathrm{NP}=\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\mathrm{NTIME}(p(n))[/math].

То есть [math]\mathrm{NP}[/math] — это множество языков, разрешимых недетерминированной программой за полиномиальное время.

Определение:

[math]\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) - poly:x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\le p(|x|), R(x,y)=1\}[/math].

Нестрого говоря, [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.

Теорема:

[math]\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}[/math]. Пусть [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Тогда существуют [math]R(x,y)[/math] и полином [math]p[/math] из определения [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math]. Построим недетерминированную программу [math]q(x)[/math], разрешающую [math]L[/math]. [math]q(x):[/math] [math]y\leftarrow?\{0,1\}^{\le p(|x|)}[/math] [math]return[/math] [math]R(x,y)[/math] Если [math]x\in L[/math], то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, [math]q[/math] разрешает [math]L[/math], следовательно [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. [math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Пусть [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда существует недетерминированная программа [math]q(x)[/math], разрешающая этот язык. Построим верификатор [math]R(x,y)[/math]. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе [math]q[/math], приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в [math]q[/math] может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе [math]q[/math], только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если [math]x\in L[/math], то в [math]q[/math] существует последовательность выборов таких, что [math]q(x)=1[/math], следовательно существует и верный сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то для любой последовательности выборов [math]q(x)=0[/math], следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примечание: определение [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] часто называют также «определением NP на языке сертификатов».

Свойства

Теорема:

Пусть [math]L_1,L_2\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда: [math]L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}[/math]; [math]L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}[/math]; [math]L_1L_2\in \mathrm{NP}[/math]; [math]L_1^*\in \mathrm{NP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] разрешает [math]L_1[/math], а [math]q[/math] разрешает [math]L_2[/math]. 1. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cap L_2[/math]: [math]r(x):[/math] [math]return[/math] [math]p(x)[/math] [math]\&\&[/math] [math]q(x)[/math] 2. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cup L_2[/math]: [math]r(x):[/math] [math]return[/math] [math]p(x)[/math] [math]||[/math] [math]q(x)[/math] 3. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1L_2[/math]: [math]r(x):[/math] [math]n\leftarrow|x|[/math] [math]mid\leftarrow?\{1..n\}[/math] [math]return[/math] [math]p(x[1..mid])[/math] [math]\&\&[/math] [math]q(x[mid+1..n])[/math] 4. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1^*[/math]: [math]r(x):[/math] [math]n\leftarrow|x|[/math] [math]prev\leftarrow 1[/math] [math]do[/math] [math]cur\leftarrow?\{prev..n\}[/math] [math]if[/math] [math](!p(x[prev..cur]))[/math] [math]return[/math] [math]false[/math] [math]prev\leftarrow cur+1[/math] [math]while[/math] [math](cur[/math] [math]!=[/math] [math]n)[/math] [math]return[/math] [math]true[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Примеры NP-языков

• Язык раскрасок графа в [math]k[/math] цветов;
• Задача о клике;
• Тетрис

Все эти языки также являются [math]\mathrm{NP}[/math]-полными. О существовании [math]\mathrm{NP}[/math] языка, не являющегося [math]\mathrm{NP}[/math]-полным гласит теорема Ладнера.

Связь P и NP

Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}[/math], так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти редкий [math]\mathrm{NP}[/math]-полный язык; было доказано, что доказательство должно быть нерелятивизующимся; различные попытки найти полиномиальные решения для задач из [math]\mathrm{NPC}[/math]:

• «решение» 3SAT за полиномиальное время;
• задача о коммивояжере.

Некоторые задачи из [math]\mathrm{P}[/math] очень похожи на задачи из [math]\mathrm{NP}[/math]. В каждой из приведенных ниже пар задач первая разрешима за полиномиальное время, а вторая является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. При этом различие между задачами кажется совершенно незначительным.

• Поиск самых коротких и самых длинных простых путей;
• Эйлеров и гамильтонов циклы;
• 2-CNF и 3-CNF выполнимость.

См. также

• Недетерминированные вычисления