Классы Sigma i и Pi i — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
Пусть имеется предикат <tex>R(x, y_1 \ldots y_i)</tex> от <tex>i+1</tex> переменной.
+
Пусть имеется предикат <tex>R(x, y_1 \ldots y_i)</tex> от <tex>i+1</tex> переменной, вычислимый за полиномиальное время.
  
 
Классом сложности <tex>\Sigma_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
 
Классом сложности <tex>\Sigma_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Альтернативное определение==
 
==Альтернативное определение==
Рассмотрим булевы формулы с <tex>i</tex> предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков (<tex>\exists</tex> и <tex>\forall</tex>) <tex>i</tex>-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока (<tex>\exists</tex>), если он начинает игру и предикат <tex>R</tex> выдает истину или если игру начинает второй игрок и предикат выдает ложь. В противном случае игра выигрышная для второго игрока (<tex>\forall</tex>).
+
Рассмотрим булевы формулы с <tex>i</tex> предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков (<tex>\exists</tex> и <tex>\forall</tex>) <tex>i</tex>-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока (<tex>\exists</tex>), если он начинает игру. В противном случае игра выигрышная для второго игрока (<tex>\forall</tex>).
  
 
Языком <tex>\Sigma_i</tex> называется множество игр <tex>i</tex>-го порядка, выигрышных для первого игрока (<tex>\exists</tex>).
 
Языком <tex>\Sigma_i</tex> называется множество игр <tex>i</tex>-го порядка, выигрышных для первого игрока (<tex>\exists</tex>).
Строка 24: Строка 24:
  
 
==Связь языков из <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math>==
 
==Связь языков из <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math>==
===Утверждение===
+
Если <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>\overline{L} \in \Pi_i</tex>. Доказательство очевидно из определения <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex>.
Если <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>\overline{L} \in \Pi_i</tex>.
 
===Доказательство===
 

Текущая версия на 10:09, 2 июня 2010

Пусть имеется предикат [math]R(x, y_1 \ldots y_i)[/math] от [math]i+1[/math] переменной, вычислимый за полиномиальное время.

Классом сложности [math]\Sigma_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Классом сложности [math]\Pi_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Pi_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \forall y_1 \exists y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Объединением всех классов сложности [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math] из полиномиальной иерархии является класс PH.

Альтернативное определение[править]

Рассмотрим булевы формулы с [math]i[/math] предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков ([math]\exists[/math] и [math]\forall[/math]) [math]i[/math]-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока ([math]\exists[/math]), если он начинает игру. В противном случае игра выигрышная для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Языком [math]\Sigma_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для первого игрока ([math]\exists[/math]).

Языком [math]\Pi_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Простейшие соотношения[править]

[math]\Sigma_0 = P[/math]
[math]\Sigma_1 = NP[/math]
[math]\Pi_0 = P[/math]
[math]\Pi_1 = coNP[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}[/math]
[math]\Pi_i \subset \Pi_{i+1}[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Pi_{i+1}[/math]

Связь языков из [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math][править]

Если [math]L \in \Sigma_i[/math], то [math]\overline{L} \in \Pi_i[/math]. Доказательство очевидно из определения [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math].