Классы Sigma i и Pi i — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Альтернативное определение)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
Пусть имеется предикат <tex>R(x, y_1 \ldots y_i)</tex> от <tex>i+1</tex> переменной.
+
Пусть имеется предикат <tex>R(x, y_1 \ldots y_i)</tex> от <tex>i+1</tex> переменной, вычислимый за полиномиальное время.
  
 
Классом сложности <tex>\Sigma_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
 
Классом сложности <tex>\Sigma_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
Строка 24: Строка 24:
  
 
==Связь языков из <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math>==
 
==Связь языков из <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math>==
===Утверждение===
+
Если <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>\overline{L} \in \Pi_i</tex>. Доказательство очевидно из определения <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex>.
Если <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>\overline{L} \in \Pi_i</tex>.
 
===Доказательство===
 

Текущая версия на 19:16, 4 сентября 2022

Пусть имеется предикат [math]R(x, y_1 \ldots y_i)[/math] от [math]i+1[/math] переменной, вычислимый за полиномиальное время.

Классом сложности [math]\Sigma_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Классом сложности [math]\Pi_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Pi_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \forall y_1 \exists y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Объединением всех классов сложности [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math] из полиномиальной иерархии является класс PH.

Альтернативное определение

Рассмотрим булевы формулы с [math]i[/math] предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков ([math]\exists[/math] и [math]\forall[/math]) [math]i[/math]-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока ([math]\exists[/math]), если он начинает игру. В противном случае игра выигрышная для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Языком [math]\Sigma_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для первого игрока ([math]\exists[/math]).

Языком [math]\Pi_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Простейшие соотношения

[math]\Sigma_0 = P[/math]
[math]\Sigma_1 = NP[/math]
[math]\Pi_0 = P[/math]
[math]\Pi_1 = coNP[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}[/math]
[math]\Pi_i \subset \Pi_{i+1}[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Pi_{i+1}[/math]

Связь языков из [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math]

Если [math]L \in \Sigma_i[/math], то [math]\overline{L} \in \Pi_i[/math]. Доказательство очевидно из определения [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math].