Классы Sigma i и Pi i

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Пусть имеется предикат [math]R(x, y_1 \ldots y_i)[/math] от [math]i+1[/math] переменной, вычислимый за полиномиальное время.

Классом сложности [math]\Sigma_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Классом сложности [math]\Pi_i[/math] называется класс из полиномиальной иерархии [math]\Pi_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \forall y_1 \exists y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}[/math]

Объединением всех классов сложности [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math] из полиномиальной иерархии является класс PH.

Альтернативное определение

Рассмотрим булевы формулы с [math]i[/math] предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков ([math]\exists[/math] и [math]\forall[/math]) [math]i[/math]-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока ([math]\exists[/math]), если он начинает игру. В противном случае игра выигрышная для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Языком [math]\Sigma_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для первого игрока ([math]\exists[/math]).

Языком [math]\Pi_i[/math] называется множество игр [math]i[/math]-го порядка, выигрышных для второго игрока ([math]\forall[/math]).

Простейшие соотношения

[math]\Sigma_0 = P[/math]
[math]\Sigma_1 = NP[/math]
[math]\Pi_0 = P[/math]
[math]\Pi_1 = coNP[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}[/math]
[math]\Pi_i \subset \Pi_{i+1}[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Pi_{i+1}[/math]

Связь языков из [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math]

Если [math]L \in \Sigma_i[/math], то [math]\overline{L} \in \Pi_i[/math]. Доказательство очевидно из определения [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math].