Класс IP — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 29 промежуточных версий 2 участников)
Строка 4: Строка 4:
  
 
==Определение==
 
==Определение==
Классом <tex>IP[f(n)]</tex> (IP = interactive proof) называется множество языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства. При этом:
+
Классом '''IP'''[f(n)] ('''IP''' = interactive proof) называется множество языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства. При этом:
  
1) <tex>x \in L \Rightarrow P(V^{P}(x)=1)\ge \frac{2}{3} \ </tex>
+
1) <tex>x \in L \Rightarrow \exists P : Pr(V^{P}(x)=1)\ge \frac{2}{3} \ </tex> , где <tex>Pr(V^{P}(x)=1)</tex> - вероятность того, что <tex>P</tex> убедит <tex>V</tex> допуститить <tex>x</tex>
  
2) <tex>x \notin L \Rightarrow P(V^{Q}(x)=1)\le \frac{1}{3} \ \forall Q </tex>  
+
2) <tex>x \notin L \Rightarrow \forall Q : Pr(V^{Q}(x)=1)\le \frac{1}{3} </tex>  
  
 
3) количество обращений к <tex>P \le f(n) </tex>
 
3) количество обращений к <tex>P \le f(n) </tex>
  
 
==Теорема==
 
==Теорема==
<tex>NP \subset IP[1] </tex>, <tex>BPP \subset IP[0] </tex>
+
'''NP''' ⊂ '''IP'''[1], '''BPP''' ⊂ '''IP'''[0]
 +
 
 
==Доказательство==
 
==Доказательство==
Первое утверждение верно, так как определить, принадлежит ли слово языку, можно за один запрос. <tex>V</tex> посылает запрос к <tex>P</tex> и в ответ либо получает сертификат, если слово принадлежит языку. Если слово не принадлежит языку, то сертификата не существует, а значит <tex>P</tex> не может его послать. <tex>P</tex> хочет убедить <tex>V</tex> в том, что слово принадлежит языку, поэтому пришлет сертификат в случае его существования.
+
Первое утверждение верно, так как определить, принадлежит ли слово языку, можно за один запрос. <tex>V</tex> посылает запрос к <tex>P</tex> и в ответ получает сертификат, если слово принадлежит языку. Если слово не принадлежит языку, то сертификата не существует, а значит <tex>P</tex> не может его послать. <tex>P</tex> хочет убедить <tex>V</tex> в том, что слово принадлежит языку, поэтому пришлет сертификат в случае его существования.
Второе утверждение очевидно, так как для проверки принадлежности слова к языку из [[Сложностный класс BPP|BPP]] хватает вычислительной мощности <tex>V</tex>, и запросов к <tex>P</tex> делать не нужно.
+
 
 +
Второе утверждение очевидно, так как для проверки принадлежности слова к языку из [[Сложностный класс BPP|'''BPP''']] хватает вычислительной мощности <tex>V</tex>, и запросов к <tex>P</tex> делать не нужно.
 +
 
 +
==Замечание==
 +
На самом деле '''NP''' ⊂ '''dIP'''[1], где '''dIP'''[1] - аналог '''IP'''[1], за исключением того, что <tex>V</tex> из '''dIP'''[1] - детерминированная машина Тьюринга.
  
 
==Определение==
 
==Определение==
<tex>I = IP[poly]</tex> - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства с полиномиальным числом запросов от <tex>V</tex> к <tex>P</tex>.
+
'''IP''' = '''IP'''[poly] - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства с полиномиальным числом запросов от <tex>V</tex> к <tex>P</tex>.

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022

Определение

Интерактивный протокол доказательства - абстрактная машина, модулирующая вычисление как передачу сообщений между двумя сущностями: [math]P[/math] - prover и [math]V[/math] - verifier. В ходе данного взаимодействия [math]P[/math] и [math]V[/math] определяют, принадлежит ли данное слово [math]x[/math] языку. [math]P[/math] имеет неограниченную вычислительную мощность и пытается доказать, что [math]x[/math] принадлежит языку. [math]V[/math] - вероятностная машина Тьюринга, работающая за полином и проверяющая информацию от [math]P[/math]. При этом [math]P[/math] не видит вероятностную ленту [math]V[/math]. [math]V[/math] хочет допустить слово тогда и только тогда, когда оно принадлежит языку.

Определение

Классом IP[f(n)] (IP = interactive proof) называется множество языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства. При этом:

1) [math]x \in L \Rightarrow \exists P : Pr(V^{P}(x)=1)\ge \frac{2}{3} \ [/math] , где [math]Pr(V^{P}(x)=1)[/math] - вероятность того, что [math]P[/math] убедит [math]V[/math] допуститить [math]x[/math]

2) [math]\ x \notin L \Rightarrow \forall Q : Pr(V^{Q}(x)=1)\le \frac{1}{3} [/math]

3) количество обращений к [math]P \le f(n) [/math]

Теорема

NPIP[1], BPPIP[0]

Доказательство

Первое утверждение верно, так как определить, принадлежит ли слово языку, можно за один запрос. [math]V[/math] посылает запрос к [math]P[/math] и в ответ получает сертификат, если слово принадлежит языку. Если слово не принадлежит языку, то сертификата не существует, а значит [math]P[/math] не может его послать. [math]P[/math] хочет убедить [math]V[/math] в том, что слово принадлежит языку, поэтому пришлет сертификат в случае его существования.

Второе утверждение очевидно, так как для проверки принадлежности слова к языку из BPP хватает вычислительной мощности [math]V[/math], и запросов к [math]P[/math] делать не нужно.

Замечание

На самом деле NPdIP[1], где dIP[1] - аналог IP[1], за исключением того, что [math]V[/math] из dIP[1] - детерминированная машина Тьюринга.

Определение

IP = IP[poly] - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства с полиномиальным числом запросов от [math]V[/math] к [math]P[/math].