| Теорема: |
[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math];
[math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно)
Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math])
[math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math]
Переход от [math](2)[/math] к [math](1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу:
[math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приходим к равенству [math](1)[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Ковариантные и Контрвариантные векторы в E
пусть [math]x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i[/math] и [math]x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k[/math]
| Лемма (1): |
[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math] (3)
[math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k[/math] (4)
здесь [math]g_{ki}[/math] и [math]g^{ik}[/math] - метрический тензор |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math]
[math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
