Ковариация случайных величин

Определение:

Ковариация случайных величин: пусть [math]\eta,\xi[/math] — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом: [math]Cov(\eta,\xi)=E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big)[/math].

Вычисление

В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:

[math]Cov(\eta, \xi) = E\big((\xi - E\xi)(\eta - E\eta)\big) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) = [/math]

[math]= E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Итого, [math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Свойства ковариации

• Ковариация симметрична:

[math]Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)[/math].

• Пусть [math]\eta_1,\ldots, \eta_n[/math] случайные величины, а [math]\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j[/math] их две произвольные линейные комбинации. Тогда

[math]Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)[/math].

• Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:

[math]Cov(\eta,\eta) = E(\eta^2) - (E(\eta))^2 = D[\eta][/math].

• Если [math]\eta,\xi[/math] независимые случайные величины, то

[math]Cov(\eta,\xi) = 0[/math].

Обратное, вообще говоря, неверно.

Неравенство Коши — Буняковского

Теорема (неравенство Коши — Буняковского):

Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию [math]\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)[/math], то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии [math] ||\eta||^2 = D [ \eta ], [/math] и Неравенство Коши-Буняковского запишется в виде: [math]Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Запишем неравенство в другом виде: [math]|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}[/math]. Введём в рассмотрение случайную величину [math]Z_{1}= \sigma_{Y} X- \sigma_{X} Y[/math] (где [math] \sigma[/math] — среднеквадратическое отклонение) и найдём её дисперсию [math] D(Z_{1})= M[ Z-m_{Z1}]^2[/math]. Выполнив выкладки получим: [math] D(Z_{1})=2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi). [/math] Любая дисперсия неотрицательна, поэтому [math] 2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi) \geqslant 0 [/math] Отсюда [math] Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}. [/math] Введя случайную величину [math] Z_{2}= \sigma_{Y} X+ \sigma_{X} Y[/math], аналогично [math] Cov(\eta, \xi)\geqslant - \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}. [/math] Объединив полученные неравенства имеем [math] - \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}\leqslant Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}. [/math] Или [math] |Cov(\eta, \xi)|\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}. [/math] Итак, [math] |Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}. [/math] А значит, верно и исходное неравенство: [math]Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]Cov^2(\eta, \xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2[/math] (где [math]\sigma[/math] — среднеквадратическое отклонение)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для этого предположим, что [math] t [/math] — некоторое вещественное число, которое мы выберем позже, и рассмотрим очевидное неравенство [math] E((V+tW)^2) \ge 0 [/math], где [math] V = \eta - E\eta [/math] и [math] W = \xi - E\xi [/math]. Используя линейность математического ожидания, мы получаем такое неравенство: [math] E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2) \ge 0 [/math] Обратим внимание, что левая часть является квадратным трехчленом, зависимым от [math] t [/math]. Мы имеем: [math] E(V^2)=\sigma_\eta ^2[/math], [math] E(W^2)=\sigma_\xi ^2[/math] и [math] E(VW)=Cov(\eta,\xi); [/math] Итак, наш квадратный трехчлен выглядит следующим образом: [math]\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0[/math] Из этого неравенства мы видим, что левая сторона может равняться [math]0[/math] только тогда, когда многочлен имеет двойной корень (т.е. график касается оси [math]x[/math] в одной точкe), что может быть только при нулевом дискриминанте. Таким образом, дискриминант всегда должен быть неположительным, что означает: [math] 4Cov^2(\eta,\xi)-4\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2 \le 0[/math] [math]Cov^2(\eta,\xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2[/math] что и требовалось доказывать.

[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

• http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node48.html
• Википедия
• Википедия (доказательство неравенства Коши — Буняковского)