Кодирование информации — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Префиксный код)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 64 промежуточные версии 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|id=def1
|definition='''Кодирование информации''' — процесс преобразования информации из одной формы в другую.
+
|definition='''Кодирование информации''' (англ. ''information coding'') отображение данных на кодовые слова.
 
}}
 
}}
 
Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки.
 
Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки.
Строка 10: Строка 10:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def2
 
|id=def2
|definition='''Код''' — правило (алгоритм) сопоставления каждому конкретному сообщению строго определённой комбинации символов (знаков или сигналов). Кодом также называется отдельная комбинация таких символов (знаков) — слово. Для различия этих терминов, код в последнем значении ещё называется ''кодовым словом''.
+
|definition=Пусть <tex>U</tex> {{---}} множество исходных символов, <tex>Z</tex> {{---}} кодовый алфавит, <tex>Z^*</tex> {{---}} множество всех строк конечной длины из <tex>Z</tex>.<br> '''Код''' (англ. ''code'') {{---}} отображение <tex>c : U \rightarrow Z^*</tex> и  <tex>c^* : U^* \rightarrow Z^*</tex> так, что  <tex>c^*(x_1 x_2 ... x_n) = c(x_1)c(x_2)..c(x_n)</tex>
 
}}
 
}}
 
==== Виды кодов ====
 
==== Виды кодов ====
* '''Код фиксированной длины''' (fixed-length code) {{---}} кодирование каждого символа производится с помощью строк одинаковой длины. Также он называется ''равномерным'' или ''блоковым'' кодом.
+
* '''[[Представление символов, таблицы кодировок | Код фиксированной длины]]''' (англ. ''fixed-length code'') {{---}} кодирование каждого символа производится с помощью строк одинаковой длины. Также он называется ''равномерным'' или ''блоковым'' кодом.
* '''Код переменной длины''' (variable-length code) {{---}} кодирование производится с помощью строк переменной длины. Также называется ''неравномерным кодом''.
+
* '''Код переменной длины''' (англ. ''variable-length code'') {{---}} кодирование производится с помощью строк переменной длины. Также называется ''неравномерным кодом''.
* '''Разделимый код''' {{---}} код, в котором любое слово, составленное из элементарных кодов, единственным образом разлагается на элементарные коды.
+
** [[Кодирование информации#Префиксный код | '''Префиксный код''']] {{---}} код, в котором, никакое кодовое слово не является началом другого. Аналогично, можно определить '''постфиксный код''' — это код, в котором никакое кодовое слово не является концом другого.
 +
 
 +
Все вышеперечисленные коды являются [[Кодирование информации#Однозначно декодируемый код | '''однозначно декодируемыми''']]  — для такого кода любое слово, составленное из кодовых слов, можно декодировать только единственным способом.
  
 
==== Примеры кодов ====
 
==== Примеры кодов ====
* Азбука Морзе
+
* [[Представление символов, таблицы кодировок#Кодировки стандарта ASCII | ASCII]] — блочный.
* ASCII
+
* [[Алгоритм Хаффмана | Код Хаффмана]] (''англ. Huffman code'') — префиксный.
 +
* Азбука Морзе — не является ни блочным, ни префиксным, тем не менее, однозначно декодируемый засчет использования пауз.
 +
 
 +
== Однозначно декодируемый код ==
 +
{{Определение
 +
|id=def3
 +
|definition='''Однозначно декодируемый код''' (англ. ''uniquely decodable code'') — код, в котором любое слово составленное из кодовых слов можно декодировать только единственным способом.
 +
}}
 +
Пусть есть код заданный следующей кодовой таблицей:
 +
 
 +
<tex>a_1 \rightarrow b_1</tex>
 +
 
 +
<tex>a_2 \rightarrow b_2</tex>
 +
 
 +
<tex> \dots </tex>
 +
 
 +
<tex>a_k \rightarrow b_k</tex>
 +
 
 +
Код является однозначно декодируемым, только тогда, когда для любых строк, составленных из кодовых слов, вида:
 +
 
 +
<tex>b_{i_1} b_{i_2} \dots b_{i_n} = b_{j_1} b_{j_2} \dots b_{j_m}</tex>
 +
 
 +
Всегда выполняются равенства:
 +
 
 +
<tex>n = m </tex>
 +
 
 +
<tex> b_{i_1} = b_{j_1}</tex>
 +
 
 +
<tex> b_{i_2} = b_{j_2} </tex>
 +
 
 +
<tex> \dots </tex>
 +
 
 +
<tex> b_{i_n} = b_{j_m}</tex>
 +
 +
Заметим, что если среди кодовых слов будут одинаковые, то однозначно декодировать этот код мы уже не сможем.
  
 
== Префиксный код ==
 
== Префиксный код ==
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def3
+
|id=def4
|definition='''Префиксный код''' — код, в котором никакое кодовое слово не является префиксом какого-то другого кодового слова.
+
|definition='''Префиксный код''' (англ. ''prefix code'') — код, в котором никакое кодовое слово не является префиксом какого-то другого кодового слова.
 
}}
 
}}
Любой префиксный код является однозначно декодируемым и разделимым. Также префиксный код иногда называют ''мнгновенным кодом''.
 
Оптимальное сжатие данных, которого можно достичь с помощью кодов, всегда достижимо при использовании префиксного кода.
 
  
Предпочтение префиксным кодам отдается из-за того, что они упрощают декодирование. Поскольку никакое кодовое слово не выступает в роли префикса другого, кодовое слово, с которого начинается закодированный файл, определяется однозначно. Начальное кодовое слово, с которого начинается закодированный файл, определяется однозначно. Начальное кодовое слово легко идентифицировать, преобразовать его в исходный символ и продолжить декодирование оставшейся части закодированного файла.
+
Предпочтение префиксным кодам отдается из-за того, что они упрощают декодирование. Поскольку никакое кодовое слово не выступает в роли префикса другого, кодовое слово, с которого начинается файл, определяется однозначно, как и все последующие кодовые слова.
 +
 
 +
=== Пример кодирования ===
 +
 
 +
<tex>U = \{ a, b, c \}</tex>
 +
 
 +
<tex>  Z = \{ 0, 1 \}</tex>
 +
 
 +
<tex> c(a) = 00 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(b) = 01 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(c) = 1 </tex>
 +
 
 +
Закодируем строку <tex>abacaba</tex> :
  
Рассмотрим пример кодирования с помощью префиксного кода.
+
<tex>c^*(abacaba) = 0001001000100</tex>
  
Пусть U {{---}} множество исходных символов, Z {{---}} кодовый алфавит, Z* {{---}} строчки из Z.
 
Код {{---}} отображение c : U <tex>\rightarrow</tex> Z*. c* : U* <tex>\rightarrow</tex> Z*. c*(x1x2..xn) = c(x1)c(x2)..c(xn)
 
U = {a,b,c}; Z = {0,1};
 
c(a) = 00; c(b) = 01; c(c) = 1;
 
Закодируем строку: abacaba
 
c*(abacaba) = 0001001000100
 
 
Такой код можно однозначно разбить на слова:
 
Такой код можно однозначно разбить на слова:
00 01 00 1 00 01 00
 
поэтому он является префиксным.
 
  
==== Недостатки префиксных кодов ====
+
<tex>00\ 01\ 00\ 1\ 00\ 01\ 00</tex>
* Так как префиксные коды являются кодами переменной длины, а данные, в основном, считываются блочно, код приходится считывать побитово, что значительно значительно замедляет скорость считывания данных
+
 
 +
=== Преимущества префиксных кодов ===
 +
* Однозначно декодируемый и разделимый
 +
* Удается получить более короткие коды, чем с помощью кода фиксированной длины.
 +
* Возможности декодировки сообщения, не получая его целиком, а по мере его поступления.
 +
 
 +
=== Недостатки префиксных кодов ===
 
* При появлении ошибок в кодовой комбинации, при определенных обстоятельствах, может привести к неправильному декодированию не только данной, но и последующей кодовой комбинации, в отличии от равномерных кодов, где ошибка в кодовой комбинации приводит к неправильному декодированию только ее.
 
* При появлении ошибок в кодовой комбинации, при определенных обстоятельствах, может привести к неправильному декодированию не только данной, но и последующей кодовой комбинации, в отличии от равномерных кодов, где ошибка в кодовой комбинации приводит к неправильному декодированию только ее.
Пример:
+
 
Возьмём строку abacaba, и закодируем ее аналогично предыдущему примеру.
+
=== Пример неудачного декодирования ===
c*(abacaba) = 0001001000100
+
Предположим, что последовательность <tex>abacaba</tex> из примера передалась неверно и стала:
Предположим, что последовательность передалась неверно и стала:
+
 
0001001'''1'''00100
+
<tex>c^{**}(abacaba) = 0001001\ 1\ 00100</tex>
Разобьем ее согласно словарю:
+
 
00 01 00 1 1 00 1 00
+
Разобьем ее согласно словарю:
a b a c c a c a
+
 
 +
<tex> 00\ 01\ 00\ 1\ 1\ 00\ 1\ 00</tex>
 +
 
 +
<tex>a\quad b\quad a\ c\ c\quad a\ c\ a</tex>
 +
 
 
Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.
 
Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.
* Необходимость хранить словарь декодировки символов.
 
  
==== Примеры префиксных кодов ====
+
=== Не префиксный однозначно декодируемый код ===
* Код Хаффмана
+
Как уже было сказано, префиксный код всегда однозначно декодируем. Обратное в общем случае неверно:
* Код Шеннона-Фано
+
 
* UTF-8 {{---}} префиксный, так как является блоковым.
+
<tex>U = \{ a, b, c \}</tex>
 +
 
 +
<tex>Z = \{ 1, 2, 3 \}</tex>
 +
 
 +
<tex> c(a) = 1 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(b) = 12 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(c) = 31 </tex>
 +
 
 +
Закодируем <tex>abbca</tex>, получим кодовую строку: <tex>11212311</tex>
 +
 
 +
Мы можем ее однозначно декодировать, так как знаем, что слева от двойки и справа от тройки всегда стоит единица.
 +
 
 +
После декодирования получаем: <tex>abbca</tex>
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Представление символов, таблицы кодировок]]
 +
* [[Неравенство Крафта]]
 +
* [[Неравенство Макмиллана]]
  
== Литература ==
+
== Источники информации ==
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ {{---}} Издательство: «Вильямс», 2011 г. - 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Prefix_code  Wikipedia {{---}} Prefix code]
* Джеймс Андерсон. Дискретная математика и комбинаторика {{---}} Издательство: «Вильямс», 2004 г. - 960 стр. {{---}} ISBN 978-0-13-086998-2
+
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
* Ф. А. Новиков. Дискретная математика для программистов {{---}} Издательство: «Питер», 2001 г. - 304 стр. {{---}} ISBN 5-94723-741-5 978-5-94723-741-2
+
* Джеймс Андерсон. «Дискретная математика и комбинаторика» {{---}} «Вильямс», 2004 г. {{---}} 960 стр. {{---}} ISBN 978-0-13-086998-2
 +
* Новиков. Ф.А. «Дискретная математика для программистов» {{---}} «Питер», 2001 г. {{---}} 304 стр. {{---}} ISBN 5-94723-741-5 978-5-94723-741-2
 +
* Алексеев В.Б. «Дискретная математика (II семестр)»
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Представление информации]]
 
[[Категория: Представление информации]]

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022

Определение:
Кодирование информации (англ. information coding) — отображение данных на кодовые слова.

Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки. В более узком смысле кодированием информации называют представление информации в виде кода. Средством кодирования служит таблица соответствия знаковых систем, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между знаками или группами знаков двух различных знаковых систем.

Код

Определение:
Пусть [math]U[/math] — множество исходных символов, [math]Z[/math] — кодовый алфавит, [math]Z^*[/math] — множество всех строк конечной длины из [math]Z[/math].
Код (англ. code) — отображение [math]c : U \rightarrow Z^*[/math] и [math]c^* : U^* \rightarrow Z^*[/math] так, что [math]c^*(x_1 x_2 ... x_n) = c(x_1)c(x_2)..c(x_n)[/math]

Виды кодов

  • Код фиксированной длины (англ. fixed-length code) — кодирование каждого символа производится с помощью строк одинаковой длины. Также он называется равномерным или блоковым кодом.
  • Код переменной длины (англ. variable-length code) — кодирование производится с помощью строк переменной длины. Также называется неравномерным кодом.
    • Префиксный код — код, в котором, никакое кодовое слово не является началом другого. Аналогично, можно определить постфиксный код — это код, в котором никакое кодовое слово не является концом другого.

Все вышеперечисленные коды являются однозначно декодируемыми — для такого кода любое слово, составленное из кодовых слов, можно декодировать только единственным способом.

Примеры кодов

  • ASCII — блочный.
  • Код Хаффмана (англ. Huffman code) — префиксный.
  • Азбука Морзе — не является ни блочным, ни префиксным, тем не менее, однозначно декодируемый засчет использования пауз.

Однозначно декодируемый код

Определение:
Однозначно декодируемый код (англ. uniquely decodable code) — код, в котором любое слово составленное из кодовых слов можно декодировать только единственным способом.

Пусть есть код заданный следующей кодовой таблицей:

[math]a_1 \rightarrow b_1[/math]

[math]a_2 \rightarrow b_2[/math]

[math] \dots [/math]

[math]a_k \rightarrow b_k[/math]

Код является однозначно декодируемым, только тогда, когда для любых строк, составленных из кодовых слов, вида:

[math]b_{i_1} b_{i_2} \dots b_{i_n} = b_{j_1} b_{j_2} \dots b_{j_m}[/math]

Всегда выполняются равенства:

[math]n = m [/math]

[math] b_{i_1} = b_{j_1}[/math]

[math] b_{i_2} = b_{j_2} [/math]

[math] \dots [/math]

[math] b_{i_n} = b_{j_m}[/math]

Заметим, что если среди кодовых слов будут одинаковые, то однозначно декодировать этот код мы уже не сможем.

Префиксный код

Определение:
Префиксный код (англ. prefix code) — код, в котором никакое кодовое слово не является префиксом какого-то другого кодового слова.


Предпочтение префиксным кодам отдается из-за того, что они упрощают декодирование. Поскольку никакое кодовое слово не выступает в роли префикса другого, кодовое слово, с которого начинается файл, определяется однозначно, как и все последующие кодовые слова.

Пример кодирования

[math]U = \{ a, b, c \}[/math]

[math] Z = \{ 0, 1 \}[/math]

[math] c(a) = 00 [/math]

[math] c(b) = 01 [/math]

[math] c(c) = 1 [/math]

Закодируем строку [math]abacaba[/math] :

[math]c^*(abacaba) = 0001001000100[/math]

Такой код можно однозначно разбить на слова:

[math]00\ 01\ 00\ 1\ 00\ 01\ 00[/math]

Преимущества префиксных кодов

  • Однозначно декодируемый и разделимый
  • Удается получить более короткие коды, чем с помощью кода фиксированной длины.
  • Возможности декодировки сообщения, не получая его целиком, а по мере его поступления.

Недостатки префиксных кодов

  • При появлении ошибок в кодовой комбинации, при определенных обстоятельствах, может привести к неправильному декодированию не только данной, но и последующей кодовой комбинации, в отличии от равномерных кодов, где ошибка в кодовой комбинации приводит к неправильному декодированию только ее.

Пример неудачного декодирования

Предположим, что последовательность [math]abacaba[/math] из примера передалась неверно и стала:

[math]c^{**}(abacaba) = 0001001\ 1\ 00100[/math]

Разобьем ее согласно словарю:

[math] 00\ 01\ 00\ 1\ 1\ 00\ 1\ 00[/math]

[math]a\quad b\quad a\ c\ c\quad a\ c\ a[/math]

Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.

Не префиксный однозначно декодируемый код

Как уже было сказано, префиксный код всегда однозначно декодируем. Обратное в общем случае неверно:

[math]U = \{ a, b, c \}[/math]

[math]Z = \{ 1, 2, 3 \}[/math]

[math] c(a) = 1 [/math]

[math] c(b) = 12 [/math]

[math] c(c) = 31 [/math]

Закодируем [math]abbca[/math], получим кодовую строку: [math]11212311[/math]

Мы можем ее однозначно декодировать, так как знаем, что слева от двойки и справа от тройки всегда стоит единица.

После декодирования получаем: [math]abbca[/math]

См. также

Источники информации

  • Wikipedia — Prefix code
  • Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» — «Вильямс», 2011 г. — 1296 стр. — ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
  • Джеймс Андерсон. «Дискретная математика и комбинаторика» — «Вильямс», 2004 г. — 960 стр. — ISBN 978-0-13-086998-2
  • Новиков. Ф.А. «Дискретная математика для программистов» — «Питер», 2001 г. — 304 стр. — ISBN 5-94723-741-5 978-5-94723-741-2
  • Алексеев В.Б. «Дискретная математика (II семестр)»