Коды Грея для перестановок

Материал из Викиконспекты
Версия от 22:51, 9 декабря 2010; Niko (обсуждение | вклад) (Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам)
Перейти к: навигация, поиск
код Грея для перестановки при n = 2
1 2
2 1
код Грея для перестановки при n = 3
1 2 3
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
1 3 2
код Грея для перестановки при n = 4
1 2 3 4 
2 1 3 4 
2 3 1 4 
2 3 4 1 
3 2 4 1 
3 2 1 4 
3 1 2 4 
1 3 2 4 
1 3 4 2 
3 1 4 2 
3 4 1 2 
3 4 2 1 
4 3 2 1 
4 3 1 2 
4 1 3 2 
1 4 3 2 
1 4 2 3 
4 1 2 3 
4 2 1 3 
4 2 3 1 
2 4 3 1 
2 4 1 3 
2 1 4 3 
1 2 4 3 

Определение

Коды Грея для перестановок - называют такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Построения Кода Грея для перестановок

Строим из рекурсивных соображений. При фиксированной перестановки из [math]k - 1[/math] элемента можно перебрать все [math]k[/math] вариантов добавления к этой перестановке элемента [math]k[/math], и этот перебор можно осуществить передвигая элемент [math]k[/math] каждый раз на соседнее место, Например

3652147 -> 3652174 -> 3652714 -> 3657214 и т. д.

На фоне перебора позиций [math]k[/math]-го элемента должны проводиться переборы перестановок меньшего порядка, к которым применяется тот же принцип, т.е., например в нашем случае после получения набора 7365214 требуется сдвинуть влево или вправо элемент 6.

Действовать будем так. Каждые [math]k - 1[/math] итерации будем давать команду на сдвиг [math]k[/math]-го элемента, а затем менять направление движения его на противоположное и будем давать команду на сдвиг элемента с меньшим номером; для этих выделенных итераций нужно делать то же самое: на [math]k - 2[/math] из них двигать [math](k - 1)[/math]-й элемент, а на [math](k - 1)[/math]-й итерации сменить ему направление движения, и т.д.

Построение. Кроме рабочей перестановки [math]r[/math] и её номера в факториальной системе [math]t[/math] (младший разряд - последний) потребуется иметь массив [math]d[/math], задающий текущее направления движения всех элементов. Удобно еще иметь массив, сопоставляющий каждому элементу [math]i[/math] то место [math]p_i[/math], на котором стоит [math]i[/math] стоит в перестановке [math]r[/math].

Начальное состояние. [math] r = (1, 2, ..., k); [/math] [math] p = (1, 2, ..., k); [/math] [math] t = (0, 0, ..., 0); [/math] [math] d = (-1, -1, ..., -1); [/math]

Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вешины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам [math]f[/math] и [math]g[/math], соединены ребром, если [math]g[/math] образуется из [math]f[/math] однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе. На рисунке изображен граф последовательности для [math]n[/math] = 3, 4. Pic4.gif

См. также