Коды Прюфера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм построения кодов Прюфера)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 6: Строка 6:
 
# Вершина <tex>v</tex> и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.
 
# Вершина <tex>v</tex> и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.
 
<br>
 
<br>
Полученная последовательность называется '''кодом Прюфера''' ''(англ. Codes Priifer)'' для заданного дерева.
+
Полученная последовательность называется '''кодом Прюфера''' ''(англ. Prüfer code)'' для заданного дерева.
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 14: Строка 14:
 
# Вершина с номером <tex>n</tex> не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число <tex>n</tex> встретилось в коде.
 
# Вершина с номером <tex>n</tex> не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число <tex>n</tex> встретилось в коде.
 
# Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина <tex>-</tex> лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.
 
# Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина <tex>-</tex> лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.
# Если вершина является листом с номером меньше <tex>n</tex>, то она была удалена до того, как был удален ее сосед, следовательно ее номер не встречается в коде.
+
# Если вершина является листом с номером меньше <tex>n</tex>, то она была удалена до того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде.
  
 
Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер <tex>n</tex>, встречаются в коде Прюфера, а остальные <tex>-</tex> нет.
 
Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер <tex>n</tex>, встречаются в коде Прюфера, а остальные <tex>-</tex> нет.
Строка 61: Строка 61:
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
# [http://www.intuit.ru/department/algorithms/graphsuse/11/2.html Университет INTUIT | Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера]
+
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/graphsuse/11/2.html Университет INTUIT | Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]
 
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]

Текущая версия на 08:42, 17 октября 2019

Алгоритм построения кодов Прюфера[править]

Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка [math]n[/math] в последовательность чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] по алгоритму:
Пока количество вершин больше двух:

  1. Выбирается лист [math]v[/math] с минимальным номером.
  2. В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с [math]v[/math].
  3. Вершина [math]v[/math] и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.


Полученная последовательность называется кодом Прюфера (англ. Prüfer code) для заданного дерева.

Лемма:
Номер вершины [math]v[/math] встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда [math]v[/math] не является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности [math]\deg v - 1[/math] раз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Вершина с номером [math]n[/math] не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число [math]n[/math] встретилось в коде.
  2. Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина [math]-[/math] лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.
  3. Если вершина является листом с номером меньше [math]n[/math], то она была удалена до того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде.
Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер [math]n[/math], встречаются в коде Прюфера, а остальные [math]-[/math] нет.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
По любой последовательности длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] можно построить помеченное дерево, для которого эта последовательность является кодом Прюфера.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство проведем по индукции по числу [math]n[/math]
База индукции:

[math]n = 1[/math] [math]-[/math] верно.

Индукционный переход:

Пусть для числа [math]n[/math] верно, построим доказательство для [math]n+1[/math]:

Пусть у нас есть последовательность: [math]A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].[/math]

Выберем минимальное число [math]v[/math] не лежащее в [math]A[/math]. По предыдущей лемме [math]v[/math] [math]-[/math] вершина, которую мы удалили первой. Соединим [math]v[/math] и [math]a_1[/math] ребром. Выкинем из последовательности [math]A[/math] число [math]a_1[/math]. Перенумеруем вершины, для всех [math]a_i \gt v[/math] заменим [math]a_i[/math] на [math]a_i - 1[/math]. А теперь мы можем применить предположение индукции.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка [math]n[/math] и последовательностями длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность.
  2. Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево.
[math]\triangleleft[/math]

Следствием из этой теоремы является формула Кэли.

Пример построения кода Прюфера[править]

Prufer.png

Пример декодирования кода Прюфера[править]

Backprufer.png

См. также[править]


Источники информации[править]