Коды Прюфера

Материал из Викиконспекты
Версия от 19:39, 10 января 2021; Masha (обсуждение | вклад) (добавлен алгоритм декодирования)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм построения кодов Прюфера[править]

Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка [math]n[/math] в последовательность чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] по алгоритму:
Пока количество вершин больше двух:

  1. Выбирается лист [math]v[/math] с минимальным номером.
  2. В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с [math]v[/math].
  3. Вершина [math]v[/math] и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.


Полученная последовательность называется кодом Прюфера (англ. Prüfer code) для заданного дерева.

Лемма:
Номер вершины [math]v[/math] встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда [math]v[/math] не является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности [math]\deg v - 1[/math] раз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Вершина с номером [math]n[/math] не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число [math]n[/math] встретилось в коде.
  2. Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина [math]-[/math] лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.
  3. Если вершина является листом с номером меньше [math]n[/math], то она была удалена до того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде.
Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер [math]n[/math], встречаются в коде Прюфера, а остальные [math]-[/math] нет.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
По любой последовательности длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] можно построить помеченное дерево, для которого эта последовательность является кодом Прюфера.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство проведем по индукции по числу [math]n[/math]
База индукции:

[math]n = 1[/math] [math]-[/math] верно.

Индукционный переход:

Пусть для числа [math]n[/math] верно, построим доказательство для [math]n+1[/math]:

Пусть у нас есть последовательность: [math]A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].[/math]

Выберем минимальное число [math]v[/math] не лежащее в [math]A[/math]. По предыдущей лемме [math]v[/math] [math]-[/math] вершина, которую мы удалили первой. Соединим [math]v[/math] и [math]a_1[/math] ребром. Выкинем из последовательности [math]A[/math] число [math]a_1[/math]. Перенумеруем вершины, для всех [math]a_i \gt v[/math] заменим [math]a_i[/math] на [math]a_i - 1[/math]. А теперь мы можем применить предположение индукции.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка [math]n[/math] и последовательностями длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность.
  2. Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево.
[math]\triangleleft[/math]

Следствием из этой теоремы является формула Кэли.

Пример построения кода Прюфера[править]

Prufer.png

Алгоритм декодирования кодa Прюфера[править]

В массиве вершин исходного дерева [math]V[/math] найдём вершину [math]v_{min}[/math] с минимальным номером, не содержащуюся в массиве с кодом Прюфера [math]P[/math], т.е. такую, что она является листом или концом уже добавленного в граф ребра, т.е. она стала листом в процессе построения кода Прюфера (по первому пункту построения). Вершина [math]p_1[/math] была добавлена в код Прюфера как инцидентная листу с минимальным номером (по второму пункту построения), поэтому в исходном дереве существует ребро {[math]p_1[/math], [math]v_{min}[/math]}, добавим его в список ребер. Удалим первый элемент из массива [math]Р[/math], а вершину [math]v_{min}[/math] - из массива [math]V[/math] т.к. она больше не может являться листом (по третьему пункту построения). Будем выполнять вышеуказанные действия, пока массив [math]P[/math] не станет пустым. В конце работы алгоритма в массиве [math]V[/math] останутся две вершины, составляющие последнее ребро дерева (это следует из построения).

Реализация[править]

# P - код Прюфера
# V - вершины
function buildTree(P, V):
   while not P.empty():
      u = P[0]
      v = min(x [math]\in[/math] V: P.count(x) == 0)
      G.push({u, v})
      P.erase(0)
      V.erase(indexOf(v))
   G.push({v[0], v[1]})
   return G


Пример декодирования кода Прюфера[править]

Backprufer.png

См. также[править]


Источники информации[править]