Количество помеченных деревьев

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Помеченное дерево

Определение:
Помеченным деревом порядка [math]n[/math] называется дерево, вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до [math]n[/math].


Количество помеченных деревьев

Теорема (Формула Кэли):
Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math] равно [math]n^{n - 2}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Можно доказать формулу двумя способами:

  • Доказательство 1. Так как между помеченными деревьями порядка [math]n[/math] и последовательностями длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] существует биекция (Код Прюфера),
    то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] = [math]n^{n - 2}[/math].
  • Доказательство 2. С помощью матрицы Кирхгофа для полного графа на [math]n[/math] вершинах. Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math], очевидно, равно числу остовов в полном графе [math]K_n[/math], которое есть [math]n^{n-2}[/math] по следствию теоремы Кирхгофа.
[math]\triangleleft[/math]

Источники