Комбинаторные объекты — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры комбинаторных объектов)
(Примеры комбинаторных объектов)
Строка 7: Строка 7:
 
* '''Размещение''' из ''n'' по ''k'' — это упорядоченный набор из ''k'' различных элементов некоторого n-элементного множества.
 
* '''Размещение''' из ''n'' по ''k'' — это упорядоченный набор из ''k'' различных элементов некоторого n-элементного множества.
 
* '''Разбиение''' числа '''на слагаемые''' — это представление числа ''n'' в виде суммы слагаемых.
 
* '''Разбиение''' числа '''на слагаемые''' — это представление числа ''n'' в виде суммы слагаемых.
* '''Разбиение''' множества <math>X</math> на '''подмножества''' называется семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:
+
* '''Разбиение''' множества <math>X</math> на '''подмножества''' называется семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:
 
# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
 
# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
 
# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.
 
# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.

Версия 20:29, 19 декабря 2013

Определение:
Комбинаторные объекты (combinatorial objects) — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Примеры комбинаторных объектов

  • Битовые вектора — последовательность нулей и единиц заданной длины.
  • Перестановки — это упорядоченный набор чисел [math]1, 2,\ldots, n,[/math] обычно трактуемый как биекция на множестве [math]\{ 1, 2,\ldots, n \}[/math], которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора.
  • Сочетания из n по k — это набор k элементов, выбранных из данных n элементов.
  • Размещение из n по k — это упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
  • Разбиение числа на слагаемые — это представление числа n в виде суммы слагаемых.
  • Разбиение множества [math]X[/math] на подмножества называется семейство непустых множеств [math]\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}[/math], где [math]A[/math] — некоторое множество индексов, если:
  1. [math]U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset[/math] для любых [math]\alpha, \beta \in A[/math], таких что [math]\alpha \not= \beta[/math];
  2. [math]X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}[/math].

Подсчет числа комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится.

Количество разбиений числа на слагаемые

Количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяют рекуррентному соотношению:

[math]A(0, t) = 0[/math], где t > 0,

[math]A(1, 1) = 1[/math],

[math]A(n, t) = A(n, t - 1) + A(n - t, t)[/math], где первый параметр - это число, которое мы разбиваем, а второй - это максимальное слагаемое в разбиении.

Количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств.

Оно выражается числами Стирлинга второго рода, которые удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

[math]S(n, n) = 1[/math], для n ≥ 0,

[math]S(n, 0) = 0[/math], для n > 0,

[math]S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + k \cdot S(n - 1, k)[/math] для 0 < k < n.

Источники