Компактный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (... пример)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется ''компактным'',
+
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''',
 
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
 
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
 
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.  
 
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.  
 
}}
 
}}
 +
  
 
{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
 
{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
Строка 23: Строка 24:
  
 
<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
 
<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
 +
 +
== Критерий проверки компактности ==
 +
 +
 +
== Произведение компактных операторов ==
 +
 +
{{TODO | t = к чему относиться следующий абзац??? }}
 +
 +
<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
 +
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
 +
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement =
 +
 +
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>
 +
 +
<tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция).
 +
 +
# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
 +
# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
 +
 +
|proof =
 +
}}

Версия 22:02, 19 апреля 2013


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным,

если [math] A [/math] переводит любое ограниченное множество из [math] X [/math]

в относительно компактное множество из [math] Y [/math].



TODO: определение относительно компактного множества

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

Пример

Рассмотрим пространство [math] C[0,1] [/math]. Пусть [math] K(u, v) [/math] — непрерывно на [math] [0,1]\times[0,1] [/math] и ограничено: [math] | K(t,s) | \leq M [/math].

[math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math], где [math] x(s) \in C[0,1] [/math].

[math] A(x,t) \in C[0,1] [/math]. Зададим норму [math] \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| [/math]

[math] | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| [/math]

[math] \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| [/math]

Критерий проверки компактности

Произведение компактных операторов

TODO: к чему относиться следующий абзац???

[math] T \subset C[0,1] [/math] — относительно компактное [math]\iff[/math]

  1. [math] \forall x \in T : \|x\| \leq M [/math]
  2. [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : | t'' - t' | \lt \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | \lt \varepsilon [/math]равностепенная непрерывность.
Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math]

[math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция).

  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.