Композиция отношений — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Композицией бинарных отношений <tex>R\subseteq A\times B</tex> и <tex>S\subseteq B\times C</tex> называется такое отношение <tex> (R \circ S) \subseteq A\times C</tex>, что:  
+
'''Композицией''' (произведением, суперпозицией) бинарных отношений <tex>R\subseteq A\times B</tex> и <tex>S\subseteq B\times C</tex> называется такое отношение <tex> (R \circ S) \subseteq A\times C</tex>, что:  
  
 
<tex>\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \Leftrightarrow \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c) </tex>.
 
<tex>\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \Leftrightarrow \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c) </tex>.
Строка 12: Строка 12:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Степень отношения <tex>R^{n} \subseteq A\times A</tex>, определяется следующим образом:
+
'''Степень отношения''' <tex>R^{n} \subseteq A\times A</tex>, определяется следующим образом:
  
 
* <tex> R^{n} = R^{n-1} \circ R; </tex>
 
* <tex> R^{n} = R^{n-1} \circ R; </tex>
Строка 31: Строка 31:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Отношение <tex>R^{-1} \subseteq B\times A</tex> называют ''обратным'' для отношения <tex> R \subseteq A\times B</tex>, если:
+
Отношение <tex>R^{-1} \subseteq B\times A</tex> называют '''обратным''' для отношения <tex> R \subseteq A\times B</tex>, если:
  
 
<tex> aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa </tex>
 
<tex> aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa </tex>
Строка 38: Строка 38:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
''Ядром отношения'' R называется отношение <tex> R\circ R^{-1} </tex>
+
'''Ядром отношения''' R называется отношение <tex> R\circ R^{-1} </tex>
 
}}
 
}}
  

Версия 20:34, 13 октября 2010

Определение:
Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений [math]R\subseteq A\times B[/math] и [math]S\subseteq B\times C[/math] называется такое отношение [math] (R \circ S) \subseteq A\times C[/math], что: [math]\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \Leftrightarrow \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c) [/math].


Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве [math]A[/math] населенных пунктов [math]R\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на поезде", а [math]S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение [math]R\circ S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно добраться из А в Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе(только по одному разу)".

Степень отношений

Определение:
Степень отношения [math]R^{n} \subseteq A\times A[/math], определяется следующим образом:
  • [math] R^{n} = R^{n-1} \circ R; [/math]
  • [math] R^{1} = R; [/math]
  • [math] R^{0} = \{ (x, x) \mid x \in A \}[/math];


В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:

[math] R^{+} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^{i}; [/math]

[math] R^{*} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=0} R^{i} [/math] - Транзитивное замыкание отношения R

Обратное отношение

Определение:
Отношение [math]R^{-1} \subseteq B\times A[/math] называют обратным для отношения [math] R \subseteq A\times B[/math], если: [math] aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa [/math]


Определение:
Ядром отношения R называется отношение [math] R\circ R^{-1} [/math]


Свойства

  • Ядро отношения R симметрично: [math] a (R \circ R^{-1}) b \Leftrightarrow \exists c: (a R c) \wedge (c R^{-1} b) \Leftrightarrow \exists c: (b R c) \wedge (c R^{-1} a) \Leftrightarrow b (R \circ R^{-1} ) a[/math]
  • [math] (R^{-1})^{-1} = R [/math]
  • [math] (R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T) [/math]
  • [math] (R \circ S) ^ {-1} = (S ^ {-1}) \circ (R ^ {-1}) [/math]
  • [math] (R \cup S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cup (S^{-1}) [/math]
  • [math] (R \cap S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cap (S^{-1}) [/math]