Конечно порождённая группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Требует доработки |item1=Необходимо привести примеры конечно порожденных групп и их образу…»)
 
м (Дмитрий Мурзин переименовал страницу Конечно порожденная группа в Конечно порождённая группа: Ёфикация)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
 
|item1=Необходимо привести примеры конечно порожденных групп и их образующих, а так же примеры не конечно порожденных групп.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>S</tex> {{---}} подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных.
+
Пусть <tex>S</tex> {{---}} подмножество элементов [[группа|группы]] <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую [[подгруппа|подгруппу]], содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных.
  
 
Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
 
Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
 
}}
 
}}
 +
 +
=== Примеры ===
 +
* Любая [[циклическая группа]] является конечно порожденной. Множество <tex>S</tex> в этом случае состоит из одного элемента.
 +
* Группа целых чисел по сложению является конечно порожденной: <tex>\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle</tex>.
 +
* [[Симметрическая группа|Группа перестановок]] множества из трех элементов: <tex>S_3 = \langle (12), (13) \rangle</tex>.
 +
* Группа рациональных чисел по сложению {{---}} не конечно порожденная.
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 23:37, 31 января 2019

Определение:
Пусть [math]S[/math] — подмножество элементов группы [math]G[/math]. Обозначим через [math]\langle S\rangle[/math] наименьшую подгруппу, содержащую [math]S[/math]. Ею является множество всех возможных произведений элементов [math]S[/math] и их обратных. Если [math]\langle S\rangle = G[/math], то говорят, что [math]S[/math] является системой образующих для [math]G[/math]. [math]G[/math] называется конечно порожденной, если у нее есть конечная система образующих.


Примеры[править]

  • Любая циклическая группа является конечно порожденной. Множество [math]S[/math] в этом случае состоит из одного элемента.
  • Группа целых чисел по сложению является конечно порожденной: [math]\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle[/math].
  • Группа перестановок множества из трех элементов: [math]S_3 = \langle (12), (13) \rangle[/math].
  • Группа рациональных чисел по сложению — не конечно порожденная.