Контактная схема — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Представление одного из базисов в контактных схемах)
(Построение контактных схем)
Строка 26: Строка 26:
  
 
===Построение контактных схем===
 
===Построение контактных схем===
 
+
[[Файл:example10.png|250px|right]]
 
Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует.  
 
Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует.  
В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f=(x \land \neg y \land \neg z) \lor (\neg x \land y \land \neg z) \lor (\neg x \land \neg y \land z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек.
+
В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f=(\neg x \land y \land \neg z) \lor (x \land \neg y \land \neg z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена cправа.
  
 
=== Примеры построения некоторых функций ===
 
=== Примеры построения некоторых функций ===

Версия 16:31, 23 октября 2014

Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются контактные схемы. С помощью контактных схем можно представить любую булеву функцию.


Определение:
Контактная схема (англ. contact circuit) представляет собой ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.


Определение:
Контакт (англ. contact) — ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием


Принцип работы

Contact.png

Пусть [math]u[/math] и [math]v[/math] — два полюса контактной схемы [math]S[/math], [math][u,v][/math] — некоторая цепь, соединяющая [math]u[/math] и [math]v[/math], [math]K(u,v)[/math] — конъюнкция букв прописанных на ребрах [math][u,v][/math]. Пусть функция [math]f(x^n)[/math] определяется формулой: [math]f(x^n)={\bigvee\limits_{[u,v]} (K(u,v))}[/math] в которой дизъюнкция берется по всем простым цепям схемы, соединяющие полюса [math]u[/math] и [math]v[/math]. Говорят, что схема [math]S[/math] реализует функцию [math]g(x^n)[/math], если [math]f(x^n)=g(x^n)[/math].

Построение контактных схем

Представление одного из базисов в контактных схемах

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к ДНФ или КНФ, а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:

Конъюнкция Дизъюнкция
Отрицание
Конъюнкция Дизъюнкция Отрицание

Построение контактных схем

Example10.png

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует. В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в ДНФ: [math]f=(\neg x \land y \land \neg z) \lor (x \land \neg y \land \neg z) \lor (x \land y \land z)[/math]. Каждой скобке ДНФ соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена cправа.

Примеры построения некоторых функций

xor медиана
Исключающее "или" Медиана трех
[math]x \oplus y = (\neg x \land y) \lor (x \land \neg y)[/math] [math] \langle x,y,z \rangle = = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)[/math]

Задача о минимизации контактной схемы

Определение:
Две контактные схемы называются эквивалентными (англ. equivalent contact circuits), если они реализуют одну и ту же булеву функцию.


Определение:
Сложностью контактной схемы (англ. the complexity of the contact circuit) называется число ее контактов.


Определение:
Минимальная контактная схема (англ. minimal contact circuit) — схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.


Задача минимизации контактных схем состоит в том, чтобы по данной схеме [math]S[/math] найти схему [math]T[/math] , эквивалентную [math]S[/math] и имеющую наименьшую сложность. Один из путей решения этой задачи состоит в следующем:

  • Осуществляем переход от контактной схемы [math]S[/math] к её булевой функции [math]F(S)[/math].
  • Упрощаем [math]F(S)[/math], то есть отыскиваем функцию [math]G[/math] (на том же базисе, что и [math]F(S)[/math], равносильную [math]F(S)[/math] и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать карты Карно.
  • Строим схему [math]T[/math], реализующую функцию [math]G[/math].
Теорема:
Любой булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью [math]O(2^n)[/math]

См также

Ссылки