Конфигурация — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(asymptote, я твой дом труба шатал)
м
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
__TOC__
  
== Основные определения ==
+
== Общие определения(R^d) ==
 +
<wikitex>
 +
{{Определение
 +
|id=hyperplane
 +
|definition =
 +
'''Гиперплоскостью'''(англ. ''hyperplane'') в $\mathbb{R}^d$ называется его подпространство размерности $\mathbb{R}^{d - 1}$.
 +
}}
  
<wikitex>
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=arrangement
 
|id=arrangement
Строка 13: Строка 19:
 
|id=cell
 
|id=cell
 
|definition =
 
|definition =
'''Ячейкой'''(англ. ''cell'') размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$.
+
'''Ячейкой'''(англ. ''cell'') размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$. <br>
 +
Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$.
 +
//БИДА, сложно обобщить на ограниченные гиперплоскости.
 +
}}
  
Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$.
+
{{Определение
 +
|id=primitives
 +
|definition =
 +
'''Вершина'''(англ. ''vertex'') — ячейка размерности 0. <br>
 +
'''Ребро'''(англ. ''edge'') — ячейка размерности 1. <br>
 +
'''Грань'''(англ. ''face'') — ячейка размерности 2. <br>
 +
'''Сторона'''(англ. ''facet'') — ячейка размерности d-1.
 
}}
 
}}
  
=== Пояснения ===
+
== Частный случай(R^2) ==
Рассмотрим примеры для $R^2$, в нём гиперплоскостями являются прямые, лучи и отрезки, а конкретно, $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$
+
 
 +
Замечание: в $\mathbb{R}^2$ ячейками размерности 0 также считаются точки, ограничивающие лучи и отрезки.
 +
 
 +
=== Примеры ===
 +
В $\mathbb{R}^2$, гиперплоскостями являются прямые, лучи и отрезки, а конкретно, $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$
  
 
{|align="left"
 
{|align="left"
  | [[Файл:2-cells.png | 250x150 px | frame | Цветами выделены ячейки размерности 2(на R^2 - грани). Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, синяя - ограничена.]]
+
  | [[Файл:cell2.png | 320x200 px | frame | Цветами выделены ячейки размерности 2. Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, синяя - ограничена.]]
  | [[Файл:1-cells.png | 250x150 px | frame | Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1(на R^2 - рёбра). Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1.]]
+
  | [[Файл:cell1.png | 320x200 px | frame | Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1. Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1.]]
  | [[Файл:0-cells.png | 250x150 px | frame | Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0(на R^2 - вершины)]]
+
  | [[Файл:cell0.png | 320x200 px | frame | Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0. Как было замечено, точки A, B, C, D, E, F также ячейки размерности 0 как органичивающие отрезки.]]
 
|}
 
|}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
  
  

Версия 03:54, 2 ноября 2011

Эта статья находится в разработке!

Общие определения(R^d)

<wikitex>

Определение:
Гиперплоскостью(англ. hyperplane) в $\mathbb{R}^d$ называется его подпространство размерности $\mathbb{R}^{d - 1}$.


Определение:
Конфигурацией(англ. arrangement) $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется разбиение $\mathbb{R}^d$ в связные открытые(топологически) ячейки размерностей $0, 1 \dots d $ множеством $\mathcal{H}$ гиперплоскостей в $ \mathbb{R}^d$.


Определение:
Ячейкой(англ. cell) размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$.

Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$.

//БИДА, сложно обобщить на ограниченные гиперплоскости.


Определение:
Вершина(англ. vertex) — ячейка размерности 0.

Ребро(англ. edge) — ячейка размерности 1.
Грань(англ. face) — ячейка размерности 2.

Сторона(англ. facet) — ячейка размерности d-1.


Частный случай(R^2)

Замечание: в $\mathbb{R}^2$ ячейками размерности 0 также считаются точки, ограничивающие лучи и отрезки.

Примеры

В $\mathbb{R}^2$, гиперплоскостями являются прямые, лучи и отрезки, а конкретно, $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$

Цветами выделены ячейки размерности 2. Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, синяя - ограничена.
Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1. Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1.
Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0. Как было замечено, точки A, B, C, D, E, F также ячейки размерности 0 как органичивающие отрезки.








Источники

  • Goodman J.E., O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. p. 537, 2004, 2nd edition.

</wikitex>