Конфигурация

<wikitex>

Эта статья находится в разработке!

Общие определения(R^d)

Определение:

Гиперплоскостью(англ. hyperplane) в $\mathbb{R}^d$ называется его подпространство размерности $\mathbb{R}^{d - 1}$.

Определение:

Конфигурацией(англ. arrangement) $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется разбиение $\mathbb{R}^d$ в связные открытые(топологически) ячейки размерностей $0, 1 \dots d $ множеством $\mathcal{H}$ гиперплоскостей в $ \mathbb{R}^d$.

Определение:

Ячейкой(англ. cell) размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$. Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$. //БИДА, сложно обобщить на ограниченные гиперплоскости.

Определение:

Вершина(англ. vertex) — ячейка размерности 0. Ребро(англ. edge) — ячейка размерности 1. Грань(англ. face) — ячейка размерности 2. Сторона(англ. facet) — ячейка размерности d-1.

Плоскость(R^2)

На $\mathbb{R}^2$ можно ввести обобщение — вместо линий(гиперплоскости в $\mathbb{R}^2$) можно брать монотонные по x(то есть каждая параллельная оси y линия пересекает её не более, чем в 1 точке) Жордановы дуги, причём такие что максимально количество взаимопересечений каждой пары дуг такого множества — заранее зафиксированная константа. Засчёт этого ограничения отсеиваются такие пары дуг как, например, $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$. А вот пару дуг $y = \cos(x)$ и $y = x^2$ можно взять.

Также ячейками размерности 0 считаются точки, ограничивающие эти дуги.

Но для упрощения реализаций алгоритмов мы всё же ограничимся использованием прямых, лучей и отрезков.

Примеры

Возьмём $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$.

Цветами выделены ячейки размерности 2. Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, синяя - ограничена.

Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1. Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1.

Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0. Как было замечено, точки A, B, C, D, E, F — также ячейки размерности 0 как органичивающие отрезки.

Источники

• Goodman J.E., O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. p. 537, 2004, 2nd edition.

</wikitex>