Конфигурация
<wikitex>
Содержание
Общие определения(R^d)
| Определение: |
| Гиперплоскостью(англ. hyperplane) в $\mathbb{R}^d$ называется его подпространство размерности $\mathbb{R}^{d - 1}$. |
| Определение: |
| Конфигурацией(англ. arrangement) $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется разбиение $\mathbb{R}^d$ в связные открытые(топологически) ячейки размерностей $0, 1 \dots d $ множеством $\mathcal{H}$ гиперплоскостей в $ \mathbb{R}^d$. |
| Определение: |
| Ячейкой(англ. cell) размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$. Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$. //БИДА, сложно обобщить на ограниченные гиперплоскости. |
| Определение: |
| Вершина(англ. vertex) — ячейка размерности 0. Ребро(англ. edge) — ячейка размерности 1. |
Обобщения
В общем случае, не обязательно требовать, чтобы $\mathcal{S}$ было множеством гиперплоскостей. Накладывая некоторые на поверхности(возможно, лучше употребить термин «гиперповерхности», но в англ. литературе это surfaces), можно также добиться корректных конфигураций.
К примеру, в $\mathbb{R}^2$ вместо линий(гиперплоскости в $\mathbb{R}^2$) можно брать монотонные по x(то есть каждая параллельная оси y линия пересекает её не более, чем в 1 точке) Жордановы дуги(англ. x-monotonic Jordan arcs), причём такие что максимально количество взаимопересечений каждой пары дуг такого множества — заранее фиксированная константа. Засчёт этого ограничения отсеиваются такие пары дуг как, например, $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$. А вот пару дуг $y = \cos(x)$ и $y = x^2$ можно взять.
Представления конфигураций
| Определение: |
| Пусть $c_1$ - ячейка размерности $k_1$, а $c_2$ — ячейка размерности $k_2$ в конфигурации $\mathcal{A}(\mathcal{S})$. Если $k_2 = k_1 + 1$ и $c_1$ ограничивает $c_2$, то $c_1$ — подъячейка(англ. subcell) $c_2$, а $c_2$ — надячейка(англ. supercell) $c_1$. |
Иногда удобно вводить ячейку размерности -1 — она является подъячейкой любой ячейки размерности 0, и ячейку размерности d+1 — она является надъячейкой любой ячейки размерности d.
Плоскость(R^2)
Разрешим ограничивать гиперплоскости — то есть введём лучи и отрезки. Тогда ячейками размерности 0 также считаются точки, ограничивающие их.
Примеры
Возьмём $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$.
 Цветами выделены ячейки размерности 2. Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, синяя - ограничена. |
 Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1. Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1. |
 Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0. Как было замечено, точки A, B, C, D, E, F — также ячейки размерности 0 как органичивающие отрезки. |
Источники
- Goodman J.E., O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. p. 537, 2004, 2nd edition.
</wikitex>
