Изменения

Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро для любого ребра, не из дерева является максимальным на циклепринадлежащего остову, цикл, который образуется образуемый этим ребром при его добавлении в деревок остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.

Теперь докажемДокажем, что остовное дерево <tex>K</tex>, удовлетворяющее условию, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах {{---}} минимально:.

{{Утверждение|statement=Для любого разреза Предположим противное: пусть остовное дерево <tex>\langle S, T \rangleA </tex>, в котором ребро <tex>uv</tex> {{---}} единственное, пересекающее его в <tex>K</tex>, вес этого ребра минимален среди состоит из всех минимальных ребер <tex>G</tex>на циклах, пересекающих этот разрезтогда оно не минимально.

|proof=Рассмотрим Если <tex> A </tex> не минимально, то его можно улучшить, значит есть ребро , которое имеет наименьший вес на цикле и не принадлежит дереву. Следовательно, дерево построено не на минимальных ребрах в циклах {{---}} противоречие. <tex>ab \notin KLeftarrow </tex> Построим минимальное остовное дерево <tex> A </tex>, пересекающее с помощью общего алгоритма построения MST. Докажем, что оно имеет минимальные ребра на каждом цикле. '''function''' Generic MST(<tex> G </tex>): <tex>A = \{ \langle S} </tex> '''while''' <tex> A </tex> не является остовом '''do''' найти безопасное ребро <tex> ( u, T v ) \rangle in E </tex> и путь между вершинами для <tex>aA </tex> и <font color = darkgreen>// нужное ребро находится с помощью [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] </font color = darkgreen> <tex>bA = A \cup \{( u, v )\} </tex> по дереву '''return''' <tex>KA </tex>.По условию теоремыЗаметим, вес что дерево <tex>abA </tex> не меньше веса любого ребра состоит полностью из безопасных ребер, так как на этом путикаждом шаге добавлялось безопасное ребро.При этом Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex>ab(u, v) </tex> пересекает , причем <tex>u \langle in S</tex>, а <tex> v \in T \rangle</tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, поэтому на этом пути найдется то какое-нибудь ребро<tex> (a, пересекающее этот b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез.Но единственное такое ребро в остовном дереве {{---}} это <tex>uv(S, T) </tex>.СледовательноОчевидно, что <tex>w(uvu, v) \le leqslant w(aba, b)</tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро.}}Следовательно, любое ребро не принадлежащее <tex> A</tex> не легче ребер принадлежащих <tex> A </tex> на этом цикле.

==ЛитератураИсточники информации==