Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(фикс)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 53 промежуточные версии 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Критерий Тарьяна ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
критерий минимальности остовного дерева Тарьяна
+
критерий Тарьяна минимальности остовного дерева
 
|statement=
 
|statement=
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро не из дерева является максимальным на цикле, который образуется при его добавлении в дерево.
+
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда для любого ребра, не принадлежащего остову, цикл, образуемый этим ребром при добавлении к остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:Gr.png|thumb|right|Ребро e имеет максимальный вес на образованном цикле]]
+
<tex> \Rightarrow </tex>
Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально:
 
  
Если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле, мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное.
+
Докажем, что остовное дерево, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах {{---}}  минимально.
  
Теперь докажем, что дерево, удовлетворяющее условию, минимально:
+
Предположим противное: пусть остовное дерево <tex> A </tex> состоит из всех минимальных ребер на циклах, тогда оно не минимально.
  
Обозначим дерево <tex>T</tex> и покажем, что его можно построить алгоритмом Крускала.
+
Если <tex> A </tex> не минимально, то его можно улучшить, значит есть ребро, которое имеет наименьший вес на цикле и не принадлежит дереву. Следовательно, дерево построено не на минимальных ребрах в циклах {{---}} противоречие.
  
Индукция по количеству ребер в дереве:
+
<tex> \Leftarrow </tex>
  
База: пустое дерево.
+
Построим минимальное остовное дерево <tex> A </tex>, с помощью общего алгоритма построения MST. Докажем, что оно имеет минимальные ребра на каждом цикле.
 +
 +
'''function''' Generic MST(<tex> G </tex>):
 +
    <tex> A = \{ \} </tex>
 +
    '''while''' <tex> A </tex> не является остовом
 +
      '''do''' найти безопасное ребро <tex> ( u, v ) \in E </tex> для <tex> A </tex> <font color = darkgreen>// нужное ребро находится с помощью [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] </font color = darkgreen>
 +
          <tex> A = A \cup \{( u, v )\} </tex>
 +
'''return''' <tex> A </tex>
  
Переход:
+
Заметим, что дерево <tex> A </tex> состоит полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро.
  
Строим дерево <tex>T'</tex> по лемме о безопасном ребре. Рассмотрим минимальное ребро <tex>uv \in uv \notin T'</tex>.  
+
Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(u, v) \leqslant  w(a, b) </tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро.  
Рассмотрим разрез <tex>(U,V)</tex>.
 
  
Пусть <tex>uv</tex> не минимально в разрезе, тогда существует <tex>ab \notin T</tex> такое, что <tex>w(ab) < w(uv)</tex>. Рассмотрим <tex>\{ab\} \cup T</tex>: некое ребро <tex>xy \in T</tex>, такое что <tex>w(xy) \ge w(uv) > w(ab)</tex>, будет лежать на цикле. Противоречие условию теоремы.
+
Следовательно, любое ребро не принадлежащее <tex> A</tex> не легче ребер принадлежащих <tex> A </tex> на этом цикле.
  
Если <tex>uv</tex> минимально — добавим его в <tex>T'</tex>.
 
  
В процессе индукции добавлялись только ребра из <tex>T</tex>, поэтому построенное дерево <tex>T'</tex> совпадет с <tex>T</tex>.
+
}}
  
 +
== Уникальность остовного дерева ==
 +
{{Задача
 +
|definition=Поиск минимального остовного дерева и проверка его на уникальность.
 
}}
 
}}
 +
<h4>Алгоритм решения</h4>
 +
Построим минимальное остовное дерево используя [[алгоритм Краскала]].
 +
Рассмотрим рёбра вне остова в любом порядке. Очередное обозначим <tex>e = (u, v)</tex>. Рассмотрим максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри остова:
 +
*Если его вес совпадает с весом ребра, то при добавлении ребра в остов, мы получим остов с циклом на котором несколько рёбер имеют одинаковый вес, значит мы можем удалить любое из них и остовное дерево будет всё ещё минимальным, это нарушает уникальность дерева. На этом алгоритм завершается и по критерию Тарьяна мы можем сказать, что в графе можно построить несколько остовных деревьев.
 +
*Если его вес больше ребра, то заменив ребро мы получим остов с большим весом, этот случай не влияет на уникальность.
 +
*Его вес не может быть меньше ребра из остова, иначе мы смогли бы построить минимальное остовное дерево с меньшим весом.
 +
После рассмотрения всех рёбер, если мы не нашли ребро вне остова, при добавлении которого создаётся цикл с максимальным ребром таким же как и на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, то в графе нету другого остовного дерева и наше дерево уникально.
 +
Искать максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в дереве мы можем при помощи [[Heavy-light декомпозиция|heavy-light декомпозиции]].
 +
<h4>Асимптотика</h4>
 +
Построение минимального остовного дерева работает за <tex>O(N \log N)</tex>, нахождение максимального ребра за <tex>O(\log N)</tex>, максимальное количество рёбер вне остова не больше <tex>N</tex>, каждое ребро проверяется за <tex>O(\log N)</tex>. Построение heavy-light декомпозиции работает за <tex>O(N)</tex>, остов мы построим один раз, heavy-light декомпозицию тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма <tex>O(N \log N)</tex>.
 +
 +
== См.также ==
 +
* [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре]]
 +
* [[Минимально узкое остовное дерево]]
 +
* [[Алгоритм Краскала]]
 +
* [[Алгоритм Борувки]]
 +
* [[Алгоритм Прима]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ.
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Остовные деревья ]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

Критерий Тарьяна

Теорема (критерий Тарьяна минимальности остовного дерева):
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда для любого ребра, не принадлежащего остову, цикл, образуемый этим ребром при добавлении к остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow [/math]

Докажем, что остовное дерево, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах — минимально.

Предположим противное: пусть остовное дерево [math] A [/math] состоит из всех минимальных ребер на циклах, тогда оно не минимально.

Если [math] A [/math] не минимально, то его можно улучшить, значит есть ребро, которое имеет наименьший вес на цикле и не принадлежит дереву. Следовательно, дерево построено не на минимальных ребрах в циклах — противоречие.

[math] \Leftarrow [/math]

Построим минимальное остовное дерево [math] A [/math], с помощью общего алгоритма построения MST. Докажем, что оно имеет минимальные ребра на каждом цикле.

function Generic MST([math] G [/math]): 
   [math] A = \{ \} [/math]
   while [math] A [/math] не является остовом
      do найти безопасное ребро [math] ( u, v ) \in E [/math] для [math] A [/math] // нужное ребро находится с помощью леммы о безопасном ребре 
         [math] A = A \cup \{( u, v )\} [/math] 
return [math] A [/math]

Заметим, что дерево [math] A [/math] состоит полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро.

Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез [math] (S, T) [/math] уже построенного дерева [math] A [/math] и пересекающее ребро [math] (u, v) [/math], причем [math] u \in S [/math], а [math] v \in T [/math]. Найдем путь в изначальном графе [math] G [/math], соединяющий вершины [math] u [/math] и [math] v [/math]. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро [math] (a, b) \notin A[/math] тоже будет пересекать разрез [math] (S, T) [/math]. Очевидно, что [math] w(u, v) \leqslant w(a, b) [/math], так как первое — безопасное ребро.

Следовательно, любое ребро не принадлежащее [math] A[/math] не легче ребер принадлежащих [math] A [/math] на этом цикле.
[math]\triangleleft[/math]

Уникальность остовного дерева

Задача:
Поиск минимального остовного дерева и проверка его на уникальность.

Алгоритм решения

Построим минимальное остовное дерево используя алгоритм Краскала. Рассмотрим рёбра вне остова в любом порядке. Очередное обозначим [math]e = (u, v)[/math]. Рассмотрим максимальное ребро на пути [math]u[/math] и [math]v[/math] внутри остова:

  • Если его вес совпадает с весом ребра, то при добавлении ребра в остов, мы получим остов с циклом на котором несколько рёбер имеют одинаковый вес, значит мы можем удалить любое из них и остовное дерево будет всё ещё минимальным, это нарушает уникальность дерева. На этом алгоритм завершается и по критерию Тарьяна мы можем сказать, что в графе можно построить несколько остовных деревьев.
  • Если его вес больше ребра, то заменив ребро мы получим остов с большим весом, этот случай не влияет на уникальность.
  • Его вес не может быть меньше ребра из остова, иначе мы смогли бы построить минимальное остовное дерево с меньшим весом.

После рассмотрения всех рёбер, если мы не нашли ребро вне остова, при добавлении которого создаётся цикл с максимальным ребром таким же как и на пути [math]u[/math] и [math]v[/math], то в графе нету другого остовного дерева и наше дерево уникально. Искать максимальное ребро на пути [math]u[/math] и [math]v[/math] в дереве мы можем при помощи heavy-light декомпозиции.

Асимптотика

Построение минимального остовного дерева работает за [math]O(N \log N)[/math], нахождение максимального ребра за [math]O(\log N)[/math], максимальное количество рёбер вне остова не больше [math]N[/math], каждое ребро проверяется за [math]O(\log N)[/math]. Построение heavy-light декомпозиции работает за [math]O(N)[/math], остов мы построим один раз, heavy-light декомпозицию тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма [math]O(N \log N)[/math].

См.также

Источники информации

  • Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. — Алгоритмы. Построение и анализ.