Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:12, 15 января 2011; Filchenko (обсуждение | вклад) (орфография и пунктуация хромали на обе ноги)
Перейти к: навигация, поиск
Теорема (критерий минимальности остовного дерева Тарьяна):
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро не из дерева является максимальным на цмкле, который образуется при его добавлении в дерево
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Ребро e имеет максимальный вес на образованном цикле

Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально:

Если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное.

Теперь докажем, что дерево, удовлетворяющее условию минимально:

Обозначим дерево [math]T[/math], покажем что его можно построить алгоритмом Крускала.

Индукция по количеству ребер в дереве: База: пустое дерево.

Переход: Строим дерево [math]T'[/math] по лемме о безопасном ребре. Рассмотрим минимальное невзятое ребро [math]uv \in T[/math]. Рассмотрим разрез, окружающий одну из двух компонент.

Пусть [math]uv[/math] не минимально в разрезе, тогда существует [math]ab \notin T[/math] такое, что [math]w(ab) \lt w(uv)[/math]. При добавлении [math]ab[/math] в дерево [math]T[/math] некое ребро [math]xy[/math], такое что [math]w(xy) \ge w(uv) \lt w(ab)[/math], будет лежать на цикле. Противоречие условию теоремы. Если [math]uv[/math] минимально - добавим его в [math]T'[/math].

По окончании (просмотрели все ребра [math]T[/math]) [math]T[/math] совпадет с [math]T'[/math].
[math]\triangleleft[/math]