Редактирование: Ксе к

''' О ЗАДАЧЕ '''

Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции

Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex>
<br>, где 
<br><tex>T_m</tex> температура  адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции
<br><tex>C</tex> - теплоемкость

* Как ведет концентрация реагентов?
начальный реагент A -> B (в продукт B)
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)

Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.

* Как ведет себя скорость?
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. 

Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда

* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)

* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой

* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)

Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. 
Что происходит после потери? 
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.
Не плоская волна?
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса

Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)


''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''

В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация
# <tex>T(t, z)</tex> - температура 

<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial z^2} = W(x, T) \\ 
\rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex>
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии

Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex>
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы

Что такое переход из вещества  А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.

Надо решить ту систему уравнений.

* Граничные условия:

<tex>x|_{z = 0} = 0</tex>

<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки

<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l}  = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l}  = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.

* Начальные условия:

<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ 
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex>


<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ 
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex>

* Замечание
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.


''' Оценки: '''

Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1

<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex>
<br>, где
<br>К - конст реакции, 
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности
<br>Q - тепловой эффект реакции

<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex>
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась

По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.

<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности

диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии

<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex>
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры

<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии

* Как подбирать шаги по времени?
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы 
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов  , 
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.

''' Задача '''

Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)

(*)Для желающих 2мерную задачу. 

Параметры:

<tex>K = 1.6 \cdot 10^6  </tex>  1 /c константа скорости реакции

<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex>  Дж/Моль энергия активации

<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная

<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1

<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции

<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3

<tex>T_0 = 293</tex> K

<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость

<tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность 
<ref>
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)
</ref>

<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. 

"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)

"Процессор" - солвер

"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)


== Решения ==
=== Неявный метод ===

Общий вид:

<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex>


В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):

<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t}  -  D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}}  =  W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> 
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref>

<tex> C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}}  =  -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex>

Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)

== Возможные альтернативные варианты формул: ==
 
<references/>