20
правок
Изменения
definition fixed?
{{Определение
|id = pawclaw
|neat = 1
|definition = '''Лапой''' (англ. ''pawclaw'') называется индуцированный подграф графа <tex>G</tex>, [[ Основные определения теории графов#isomorphic_graphs | изоморфный ]] [[ Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольному ]] графу <tex>K_{1,\;3}</tex>.
}} [[ Файл:Lapa.png|180px|thumb|right|Лапа ]]
{{Определение
|id = paw_centerclaw_center
|neat = 1
|definition ='''Центром лапы''' (англ. ''paw claw center'') называется вершина [[ Основные определения теории графов#def_graph_degree_1 | степени ]] три в лапе.
}}
{{Определение
|id = minimum_barrier
|neat = 1
}}
{{Теорема
|id = theorem_about_pawtheorem_about_claw
|statement = Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>, тогда каждая вершина <tex>B</tex> {{---}} центр лапы в <tex>G</tex>.
|proof = Предположим, что <tex>x\in B</tex> не является центром лапы. Тогда <tex>x</tex> смежна не более чем с двумя [[Отношение связности, компоненты связности#def2 | компонентами связности ]] графа <tex>G \setminus B</tex>. <br> Введём обозначение Пусть <tex>B' = B\setminus \{ x\}</tex>. <br>
Найдём соотношение между [[ Теорема Татта о существовании полного паросочетания#odd | <tex>\mathrm{odd}</tex> ]]<tex>(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>
Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности (компоненты в <tex>B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, нас не интересуют). <br>
# <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>.[[ Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex> ]] <br>
#: a) * Одна компонента чётная, другая {{---}} нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>#: b) * Обе компоненты чётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>#: c) * Обе компоненты нечётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
#<tex>x</tex> смежна с одной компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>
#: a) * Эта компонента чётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>#: b) * Эта компонента нечётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br># <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>#: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>Рассмотрев случаи, видим, что для Для любого из них случаев выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
Тогда <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
То есть <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
Тогда возможны два случая:
# Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>
#: Но <tex>|B'| < |B| </tex>, а значит, <tex>B</tex> не является минимальным по включению барьером <tex>\Rightarrow</tex> противоречие условию теоремы. <br>
# Если <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G)</tex>, то <br>#: есть <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex>. <br>#: Тогда, что противоречит по [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#Th_Berge| теореме Бержа ]], <tex>\mathrm{def}(G) \ne \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex> <tex>\Rightarrow</tex> противоречие. <br>
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и <tex>\forall x\in B</tex> является центром лапы в <tex>G</tex>.
}}
|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>
По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер и он пуст <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием ]], равно <tex>0</tex>, то есть в <tex>G</tex> существует совершенное паросочетание.
}}
== Источники информации ==
* Карпов Д. В. {{---}} Теория графов, стр 55
* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии, стр 165-166
[[ Категория: Алгоритмы и структуры данных ]]
[[ Категория: Задача о паросочетании ]]
