Лапы и минимальные по включению барьеры в графе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
Найдём соотношение между <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex> <br>
 
Найдём соотношение между <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex> <br>
 
Рассмотрим возможные случаи количества компонент связности в <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности(компоненты в <tex>B</tex> нас не интересуют)<br>
 
Рассмотрим возможные случаи количества компонент связности в <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности(компоненты в <tex>B</tex> нас не интересуют)<br>
# <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности <tex>G \setminus B</tex>.<br>
+
# <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности <tex>G \setminus B</tex>.[[Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности из <tex>G \setminus B</tex>]]<br>
 
#:a) Одна четная, другая - нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> <br>
 
#:a) Одна четная, другая - нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> <br>
 
#:b) Обе чётные : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> <br>
 
#:b) Обе чётные : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> <br>

Версия 02:05, 14 декабря 2017

Определение:
Лапой называется индуцированный подграф графа [math]G[/math], изоморфный двудольному графу [math]K_{1,\;3}[/math]


Определение:
Центр лапы — вершина степени 3 в лапе


Определение:
Минимальный по включению барьер — барьер минимальной мощности


Теорема:
Пусть [math]B[/math] - минимальный по включению барьер [math]G[/math], тогда каждая вершина [math]B[/math] - центр лапы в [math]G[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\in B[/math] не является центром лапы. Тогда [math]x[/math] смежна не более чем с двумя компонентами связности графа [math]G \setminus B[/math].
Обозначим [math]B' = B\setminus x[/math]
Найдём соотношение между [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ [/math] и [math]\mathrm{odd}(G\setminus B)\ [/math]
Рассмотрим возможные случаи количества компонент связности в [math]G \setminus B[/math], с которыми смежна [math]x[/math], и посмотрим на их четности(компоненты в [math]B[/math] нас не интересуют)

  1. [math]x[/math] смежна с двумя компонентами связности [math]G \setminus B[/math].
    [math]x[/math] смежна с двумя компонентами связности из [math]G \setminus B[/math]

    a) Одна четная, другая - нечетная. Тогда [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
    b) Обе чётные : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
    c) Обе нечётные : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
  2. [math]x[/math] смежна с одной компонентой связности [math]G \setminus B[/math].
    a) Она чётная : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
    b) Она нечётная : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
  3. [math]x[/math] не смежна ни с какой компонентой связности [math]G \setminus B[/math] : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]

Рассмотрев случаи, видим, что для любого из них выполнено : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
[math]B[/math] — барьер [math] \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) [/math]
Тогда [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G)[/math]
То есть [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G)[/math]
Тогда возможны два случая:

  1. Если выполняется равенство [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G)[/math], то, по определению [math]B'[/math] является барьером.
    Но [math]|B'| \lt |B| [/math], а значит, [math]B[/math] не является минимальным по включению барьером [math]\Rightarrow[/math] противоречие условию.
  2. Если [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \gt \mathrm{def}(G)[/math], то
    [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \gt \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\[/math], что противоречит теореме Бержа.
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и [math]\forall x\in B[/math] является центром лапы в [math]G[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (D.P.Sumner, следствие из теоремы):
Пусть [math]G[/math] — связанный граф, не содержащий лапы, [math]v(G)[/math] чётно. Тогда [math]G[/math] имеет совершенное паросочетание.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]B[/math] — минимальный по включению барьер графа [math]G[/math]. Тогда, по предыдущей теореме имеем [math]B = \varnothing [/math].
По условию [math]G[/math] — связный граф с чётным числом вершин [math]\Rightarrow [/math] [math]\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 [/math]

[math]B[/math] — барьер [math]\Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = \mathrm{def}(G) = 0 [/math]. Значит, количество вершин, не покрытых максимальным паросочетанием, равно 0, т.е. существует совершенное паросочетание.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Карпов В. Д. - Теория графов, стр 55