Левосторонние красно-чёрные деревья — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Переворот цветов)
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Вращения==
 
==Вращения==
Чтобы поддерживать красно-черные двоичное деревья поиска необходимо соблюдать следующие инвариантные свойства при вставке и удалении:
+
Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:
 
* Ни один обход от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 
* Ни один обход от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
 
Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с <tex>N</tex> узлами не превышает <tex>2 \cdot \log(N)</tex> .
 
Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с <tex>N</tex> узлами не превышает <tex>2 \cdot \log(N)</tex> .
  
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениями. Эти операции трансформируют <tex>3</tex>-узел,левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный и наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
+
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениями. Эти операции трансформируют <tex>3</tex>-узел, левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный и наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
 
===Псевокод===
 
===Псевокод===
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
Строка 102: Строка 102:
 
==Поиск==
 
==Поиск==
 
Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].
 
Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].
Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом, проходит от вершины до искомого элемента. Если же элемент отсутствует цикл пройдет то листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.
+
Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от вершины до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
 
  '''Value''' search(key : '''Key''')
 
  '''Value''' search(key : '''Key''')
Строка 139: Строка 139:
  
 
[[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]]  
 
[[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]]  
* Удаление узла с <tex>2</tex>-я потомками разрушает баланс
+
* Удаление узла с <tex>2</tex>-я потомками нарушает баланс
Соответственно спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>2</tex>-м.
+
Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>2</tex>-м.
 
[[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]]  
 
[[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]]  
 
   
 
   
Будем поддерживать инвариант : Для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла '''красный'''.
+
Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла '''красный'''.
 
Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.
 
Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.
  

Версия 14:23, 18 июня 2018

Определение:
Левосторонние красно-черные деревья — модификация красно-черных деревьев, имеющая ряд преимуществ на классической структурой. Разработана Робертом Соджевиском в [math]2008[/math] году.

Преимущества

  • необходимо менее [math]80[/math] строчек кода для реализации структуры
  • более быстрая вставка, удаление элементов
  • простота

Вращения

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:

  • Ни один обход от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
  • Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.

Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с [math]N[/math] узлами не превышает [math]2 \cdot \log(N)[/math] .

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениями. Эти операции трансформируют [math]3[/math]-узел, левый потомок которого окрашен в красный, в [math]3[/math]-узел, правый потомок которого окрашен в красный и наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.

Псевокод

Rotate Right
  Node rotateRight(h : Node) 
      x = h.left
      h.left= x.right
      x.right= h
      x.color = h.color
      h.color = RED
   return x
Rotate Left
  Node rotateLeft(h : Node) 
      x = h.right
      h.right = x.left
      x.left = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
  return x

Переворот цветов

В красно-черных деревьях используется такая операция как Переворот цветов , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов при любом обходе от корня до листьев дерева, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.

Переворот цветов
 void flipColors(h : Node h) 
      h.color = ! h.color
      h.left.color =  ! h.left.color
      h.right.color = [math] ![/math] h.right.color

Вставка

Вставка в ЛСКЧД базируется на [math]4[/math] простых операциях:

  • Вставка нового узла к листу дерева:

Если высота узла нулевая, возвращаем новый красный узел.

Вставка нового узла
 if (h == null)
      return new Node(key, value, RED)
  • Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками:

Если левый предок и правый предок красные, запускаем вращение цветов от текущего узла.

Расщепление узла
 if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
     colorFlip(h)
  • Принудительное вращение влево:
Принудительное вращение

Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.

 if (isRed(h.right))
     h = rotateLeft(h)
  • Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками:
Балансировка

Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.

 if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
     h = rotateRight(h)
  

Псевдокод

 void insert(key : Key, value : Value ) 
        root = insert(root, key, value)
        root.color = BLACK


 Node insert(h : Node, key : Key, value : Value)
      //Вставка нового узла к листу дерева
     if (h == null)     
         return new Node(key, value)
      //Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками
     if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
         colorFlip(h)
      //Стандартная вставка в дереве поиска
     int cmp = key.compareTo(h.key) 
     if  (cmp == 0)
         h.val = value
     else 
         if cmp < 0 
             h.left = insert(h.left, key, value)  
         else 
             h.right = insert(h.right, key, value)
          //Принудительное вращение влево
         if (isRed(h.right) && !isRed(h.left))
             h = rotateLeft(h)
          //Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
         if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
             h = rotateRight(h)
 return h

Поиск

Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в наивной реализации дерева поиска. Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от вершины до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Псевдокод

Value search(key : Key)
    Node x = root
    while (x != null)
      int cmp = key.compareTo(x.key)
      if (cmp == 0)
          return x.val
      else
          if (cmp < 0)
              x = x.left
      else 
          if (cmp > 0) 
              x = x.right
return null

Удаление

Исправление правых красных связей

  • Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.
  • После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с [math]4[/math]-я потомками
      //Исправление правых красных связей
  Node fixUp(h : Node)  
      if (isRed(h.right))  
          h = rotateLeft(h)  
      //Вращение [math]2[/math]-ой красной пары пары
      if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
          h = rotateRight(h)  
      //Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
      if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
          colorFlip(h)  
  return h

Удаление максимума

  • Спускаемся вниз по правому краю дерева.
  • Если поиск заканчивается на узле с [math]4[/math]-мя или [math]5[/math]-ю потомками, просто удаляем узел.
Узлы до и после удаления
  • Удаление узла с [math]2[/math]-я потомками нарушает баланс

Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно [math]2[/math]-м.

ChangeNode.png

Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла красный. Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.

Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

void deleteMax()              
    root = deleteMax(root)         
    root.color = BLACK               
Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)                     
    if (isRed(h.right.left)                
        h.right = rotateRight(h.right)       
        h = rotateLeft(h)                   
        colorFlip(h)                          
return h                                              
Node deleteMax(h : Node)
    if (isRed(h.left))                                         
    //вращаем все 3-вершины вправо
        h = rotateRight(h)
    //поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
    if (h.right == null)   
        return null
    //заимствуем у брата если необходимо
    if (!isRed(h.right) && !isRed(h.right.left)) 
        h = moveRedRight(h)
    // опускаемся на один уровень глубже 
    h.left = deleteMax(h.left) 
    //исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
    return fixUp(h)

Удаление минимума

Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Заметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)
    if (isRed(h.right.left))
        h.right = rotateRight(h.right)
        h = rotateLeft(h)
        colorFlip(h)
return h
void deleteMin()
    root = deleteMin(root)
    root.color = BLACK
Node deleteMin(h : Node)
    //удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
    if (h.left == null)    
        return null
     //Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
    if  (!isRed(h.left) &&  !isRed(h.left.left))
         h = moveRedLeft(h)
     //опускаемся на уровень ниже 
    h.left = deleteMin(h.left)
return fixUp(h)

Асимптотика

Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике левосторонних красно-черных деревьях.


См.также

Источники информации

  • Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University