Левосторонние красно-чёрные деревья — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Вставка)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 40 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =  Левосторонние красно-черные деревья {{---}} двоичные деревья поиска, в котором баланс осуществляется на основе "цвета" узла дерева, который принимает только два значения: "красный" и "чёрный". Данный тип [[Красно-черное дерево|красно-черных деревьев]] имеет ряд преимуществ над классической структурой. Разработан Робертом Соджевиском в <tex>2008</tex> году.
+
|definition =  Левостороннее красно-черное дерево {{---}} тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.
 
   }}
 
   }}
  
 +
==Свойства==
 +
*Корневой узел всегда черный.
 +
*Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
 +
*Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.
  
==Переворот цветов==
+
==Вращения==
 
Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:
 
Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:
 
* Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 
* Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с <tex>N</tex> узлами не превышает <tex>2 \cdot \log_2(N)</tex> .
 
  
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево.Первая операция трансформируют <tex>3</tex>-узел, левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция {{---}} наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
+
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют <tex>3</tex>-узел (совокупность из <tex>3</tex> узлов, где <tex>2</tex> узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция {{---}} наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
 
+
===Псевдокод===
В красно-черных деревьях используется такая  операция как '''переворот цветов''' , которая инвертирует цвет узла и двух его детей.  Она не изменяет количество черных узлов  на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.
 
 
 
==Переворот цветов==
 
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
 
   '''Node''' rotateRight(h : '''Node''')  
 
   '''Node''' rotateRight(h : '''Node''')  
Строка 22: Строка 22:
 
       x.color = h.color
 
       x.color = h.color
 
       h.color = RED
 
       h.color = RED
  '''return''' x
+
      '''return''' x
 
[[File:rotateLeft.png|310px|thumb|upright|Rotate Left]]
 
[[File:rotateLeft.png|310px|thumb|upright|Rotate Left]]
 
   '''Node''' rotateLeft(h : '''Node''')  
 
   '''Node''' rotateLeft(h : '''Node''')  
Строка 30: Строка 30:
 
       x.color = h.color
 
       x.color = h.color
 
       h.color = RED
 
       h.color = RED
  '''return''' x
+
      '''return''' x
 +
 
 +
==Переворот цветов==
 +
В красно-черных деревьях используется такая  операция как '''переворот цветов''' , которая инвертирует цвет узла и двух его детей.  Она не изменяет количество черных узлов  на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.
 +
===Псевдокод===
 
[[File: ColorFlip.png|320px|thumb|upright| Переворот цветов]]
 
[[File: ColorFlip.png|320px|thumb|upright| Переворот цветов]]
 
   '''void''' flipColors(h : '''Node''' h)  
 
   '''void''' flipColors(h : '''Node''' h)  
Строка 43: Строка 47:
 
Если высота узла  нулевая, возвращаем новый красный узел.
 
Если высота узла  нулевая, возвращаем новый красный узел.
 
[[File:insertNode.png|310px|thumb|upright|Вставка нового узла]]
 
[[File:insertNode.png|310px|thumb|upright|Вставка нового узла]]
 
  '''if''' (h == '''null''')
 
      return new Node(key, value, RED)
 
 
 
*Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
*Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
Если левый предок и правый предок  красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.
 
Если левый предок и правый предок  красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.
 
[[File:Split4node.png|310px|thumb|upright|Расщепление узла]]
 
[[File:Split4node.png|310px|thumb|upright|Расщепление узла]]
  '''if''' (isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right))
 
      colorFlip(h)
 
 
 
*Принудительное вращение влево:
 
*Принудительное вращение влево:
 
[[File:Enforce.png|310px|thumb|upright|Принудительное вращение]]
 
[[File:Enforce.png|310px|thumb|upright|Принудительное вращение]]
 
Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.
 
Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.
  '''if''' (isRed(h.right))
 
      h = rotateLeft(h)
 
 
 
*Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
*Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
[[File:Balance4node.png|310px|thumb|Балансировка]]
 
[[File:Balance4node.png|310px|thumb|Балансировка]]
 
Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.
 
Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.
  '''if''' (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
+
 
      h = rotateRight(h)
 
 
    
 
    
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
Строка 79: Строка 72:
 
           colorFlip(h)
 
           colorFlip(h)
 
       <span style="color:#008000">// Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]</span>
 
       <span style="color:#008000">// Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]</span>
       '''int''' cmp = key.compareTo(h.key)
+
       '''if''' key = h.key  
      '''if''' cmp == 0
 
 
           h.val = value
 
           h.val = value
 
       '''else'''  
 
       '''else'''  
           '''if''' cmp < 0
+
           '''if''' key < h.key 
 
               h.left = insert(h.left, key, value)   
 
               h.left = insert(h.left, key, value)   
 
           '''else'''  
 
           '''else'''  
Строка 93: Строка 85:
 
           '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 
           '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 
               h = rotateRight(h)
 
               h = rotateRight(h)
  '''return''' ''h''
+
      '''return''' h
  
 
==Поиск==
 
==Поиск==
Строка 102: Строка 94:
 
     '''Node''' x = root
 
     '''Node''' x = root
 
     '''while''' (x '''!'''= null)
 
     '''while''' (x '''!'''= null)
       '''int''' cmp = key.compareTo(x.key)
+
       '''if''' key = x.key
      '''if''' cmp == 0
 
 
           '''return''' x.val
 
           '''return''' x.val
 
       '''else'''
 
       '''else'''
           '''if''' cmp < 0
+
           '''if''' key < x.key
 
               x = x.left
 
               x = x.left
 
       '''else'''  
 
       '''else'''  
           '''if''' cmp > 0
+
           '''if''' key > x.key
 
               x = x.right
 
               x = x.right
'''return''' ''null''
+
    '''return''' ''null''
  
==Удаление==
+
==Исправление правых красных связей==
===Исправление правых красных связей===
 
 
*Использование Переворота цветов и вращений  сохраняет баланс черной связи.
 
*Использование Переворота цветов и вращений  сохраняет баланс черной связи.
 
*После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>4</tex>-я потомками
 
*После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>4</tex>-я потомками
Строка 127: Строка 117:
 
       '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 
       '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 
           colorFlip(h)   
 
           colorFlip(h)   
  '''return''' ''h''
+
      '''return''' h
  
===Удаление максимума===
+
==Удаление максимума==
 
* Спускаемся вниз по правому краю  дерева.
 
* Спускаемся вниз по правому краю  дерева.
 
* Если поиск заканчивается на узле с <tex>4</tex>-мя или <tex>5</tex>-ю потомками, просто удаляем узел.
 
* Если поиск заканчивается на узле с <tex>4</tex>-мя или <tex>5</tex>-ю потомками, просто удаляем узел.
Строка 157: Строка 147:
 
         h = rotateLeft(h)                   
 
         h = rotateLeft(h)                   
 
         colorFlip(h)                           
 
         colorFlip(h)                           
'''return''' ''h''                                             
+
    '''return''' h                                          
  
 
  '''Node''' deleteMax(h : '''Node''')
 
  '''Node''' deleteMax(h : '''Node''')
Строка 164: Строка 154:
 
         h = rotateRight(h)
 
         h = rotateRight(h)
 
     <span style="color:#008000">// поддерживаем инвариант (h должен быть красным)</span>
 
     <span style="color:#008000">// поддерживаем инвариант (h должен быть красным)</span>
     '''if''' (h.right == '''null''') 
+
     '''if''' h.right == ''null''
         return null
+
         return ''null''
 
     <span style="color:#008000">// заимствуем у брата если необходимо</span>
 
     <span style="color:#008000">// заимствуем у брата если необходимо</span>
 
     '''if''' !isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left)  
 
     '''if''' !isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left)  
Строка 183: Строка 173:
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
 
     colorFlip(h)
 
     colorFlip(h)
     if (isRed(h.right.left))
+
     if isRed(h.right.left)
 
         h.right = rotateRight(h.right)
 
         h.right = rotateRight(h.right)
 
         h = rotateLeft(h)
 
         h = rotateLeft(h)
 
         colorFlip(h)
 
         colorFlip(h)
'''return''' ''h''
+
    '''return''' h
  
 
  '''void''' deleteMin()
 
  '''void''' deleteMin()
Строка 195: Строка 185:
 
  '''Node''' deleteMin(h : '''Node''')
 
  '''Node''' deleteMin(h : '''Node''')
 
     <span style="color:#008000">// удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)</span>
 
     <span style="color:#008000">// удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)</span>
     if (h.left == ''null'')   
+
     if h.left == ''null''  
 
         '''return''' ''null''
 
         '''return''' ''null''
 
       <span style="color:#008000">// Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз</span>
 
       <span style="color:#008000">// Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз</span>
Строка 202: Строка 192:
 
       <span style="color:#008000">// опускаемся на уровень ниже </span>
 
       <span style="color:#008000">// опускаемся на уровень ниже </span>
 
     h.left = deleteMin(h.left)
 
     h.left = deleteMin(h.left)
'''return''' fixUp(h)
+
    '''return''' fixUp(h)
  
 
==Асимптотика==
 
==Асимптотика==

Текущая версия на 19:08, 4 сентября 2022

Определение:
Левостороннее красно-черное дерево — тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.


Свойства

  • Корневой узел всегда черный.
  • Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
  • Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.

Вращения

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:

  • Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
  • Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют [math]3[/math]-узел (совокупность из [math]3[/math] узлов, где [math]2[/math] узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в [math]3[/math]-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция — наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.

Псевдокод

Rotate Right
  Node rotateRight(h : Node) 
      x = h.left
      h.left = x.right
      x.right = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x
Rotate Left
  Node rotateLeft(h : Node) 
      x = h.right
      h.right = x.left
      x.left = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x

Переворот цветов

В красно-черных деревьях используется такая операция как переворот цветов , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.

Псевдокод

Переворот цветов
 void flipColors(h : Node h) 
      h.color = ! h.color
      h.left.color = ! h.left.color
      h.right.color = ! h.right.color

Вставка

Вставка в ЛСКЧД базируется на [math]4[/math] простых операциях:

  • Вставка нового узла к листу дерева:

Если высота узла нулевая, возвращаем новый красный узел.

Вставка нового узла
  • Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками:

Если левый предок и правый предок красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.

Расщепление узла
  • Принудительное вращение влево:
Принудительное вращение

Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.

  • Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками:
Балансировка

Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.


Псевдокод

 void insert(key : Key, value : Value ) 
        root = insert(root, key, value)
        root.color = BLACK


 Node insert(h : Node, key : Key, value : Value)
      // Вставка нового листа
     if h == null     
         return new Node(key, value)
      // Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками
     if isRed(h.left) && isRed(h.right)
         colorFlip(h)
      // Стандартная вставка в дереве поиска
     if key = h.key 
         h.val = value
     else 
         if key < h.key  
             h.left = insert(h.left, key, value)  
         else 
             h.right = insert(h.right, key, value)
          // Принудительное вращение влево
         if isRed(h.right) && !isRed(h.left)
             h = rotateLeft(h)
          // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
         if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
             h = rotateRight(h)
     return h

Поиск

Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в наивной реализации дерева поиска. Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Псевдокод

Value search(key : Key)
    Node x = root
    while (x != null)
      if key = x.key
          return x.val
      else
          if key < x.key
              x = x.left
      else 
          if key > x.key 
              x = x.right
    return null

Исправление правых красных связей

  • Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.
  • После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с [math]4[/math]-я потомками
      // Исправление правых красных связей
  Node fixUp(h : Node)  
      if isRed(h.right)  
          h = rotateLeft(h)  
      // Вращение [math]2[/math]-ой красной пары пары
      if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
          h = rotateRight(h)  
      // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
      if isRed(h.left) && isRed(h.right)
          colorFlip(h)  
      return h

Удаление максимума

  • Спускаемся вниз по правому краю дерева.
  • Если поиск заканчивается на узле с [math]4[/math]-мя или [math]5[/math]-ю потомками, просто удаляем узел.
Узлы до и после удаления
  • Удаление узла с [math]2[/math]-я потомками нарушает баланс

Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно [math]2[/math]-м.

ChangeNode.png

Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла красный. Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.

Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

void deleteMax()              
    root = deleteMax(root)         
    root.color = BLACK               
Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)                     
    if isRed(h.right.left                
        h.right = rotateRight(h.right)       
        h = rotateLeft(h)                   
        colorFlip(h)                          
    return h                                           
Node deleteMax(h : Node)
    if isRed(h.left)                                         
    // вращаем все 3-вершины вправо
        h = rotateRight(h)
    // поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
    if h.right == null
        return null
    // заимствуем у брата если необходимо
    if !isRed(h.right) && !isRed(h.right.left) 
        h = moveRedRight(h)
    // опускаемся на один уровень глубже 
    h.left = deleteMax(h.left) 
    // исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
    return fixUp(h)

Удаление минимума

Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Заметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)
    if isRed(h.right.left)
        h.right = rotateRight(h.right)
        h = rotateLeft(h)
        colorFlip(h)
    return h
void deleteMin()
    root = deleteMin(root)
    root.color = BLACK
Node deleteMin(h : Node)
    // удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
    if h.left == null   
        return null
     // Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
    if  (!isRed(h.left) &&  !isRed(h.left.left))
         h = moveRedLeft(h)
     // опускаемся на уровень ниже 
    h.left = deleteMin(h.left)
    return fixUp(h)

Асимптотика

Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике базовой реализации красно-черных деревьях.

См.также

Источники информации

  • Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University