Левосторонние красно-чёрные деревья — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Асимптотика)
м (Дмитрий Мурзин переименовал страницу Левосторонние красно-черные деревья в Левосторонние красно-чёрные деревья: Ёфикация)
 
(не показаны 102 промежуточные версии 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =  Левосторонние красно-черные деревья {{---}} модификация [[Красно-черное дерево|красно-черных деревьев]], имеющая ряд преимуществ на классической структурой. Разработана Робертом Соджевиском в <tex>2008</tex> году.
+
|definition =  Левостороннее красно-черное дерево {{---}} тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.
 
   }}
 
   }}
==Преимущества==
+
 
* необходимо менее <tex>80</tex> строчек кода для реализации структуры
+
==Свойства==
* более быстрая вставка, удаление элементов
+
*Корневой узел всегда черный.
* простота
+
*Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
 +
*Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.
  
 
==Вращения==
 
==Вращения==
Чтобы поддерживать красно-черные двоичное деревья поиска необходимо соблюдать следующие инвариантные свойства при вставке и удалении:
+
Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:
* Ни один обход от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
+
* Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
 
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с <tex>N</tex> узлами не превышает <tex>2 \cdot \log(N)</tex> .
 
  
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениями. Эти операции трансформируют <tex>3</tex>-узел,левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный и наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
+
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют <tex>3</tex>-узел (совокупность из <tex>3</tex> узлов, где <tex>2</tex> узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция {{---}} наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
===Псевокод===
+
===Псевдокод===
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
 
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
   '''Node''' rotateRight( h : '''Node''') :
+
   '''Node''' rotateRight(h : '''Node''')  
 
       x = h.left
 
       x = h.left
       h.left= x.right
+
       h.left = x.right
       x.right= h
+
       x.right = h
 
       x.color = h.color
 
       x.color = h.color
 
       h.color = RED
 
       h.color = RED
    '''return''' x
+
      '''return''' x
 
[[File:rotateLeft.png|310px|thumb|upright|Rotate Left]]
 
[[File:rotateLeft.png|310px|thumb|upright|Rotate Left]]
   '''Node''' rotateLeft( h : '''Node''') :
+
   '''Node''' rotateLeft(h : '''Node''')  
 
       x = h.right
 
       x = h.right
 
       h.right = x.left
 
       h.right = x.left
Строка 30: Строка 30:
 
       x.color = h.color
 
       x.color = h.color
 
       h.color = RED
 
       h.color = RED
  '''return''' x
+
      '''return''' x
  
 
==Переворот цветов==
 
==Переворот цветов==
 
+
В красно-черных деревьях используется такая  операция как '''переворот цветов''' , которая инвертирует цвет узла и двух его детей.  Она не изменяет количество черных узлов  на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.
В красно-черных деревьях используется такая  операция как '''Переворот цветов''' <tex>(flip color)</tex> , которая инвертирует цвет узла и двух его детей.  Она не изменяет количество черных узлов  при любом обходе от корня до листьев дерева, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.  
+
===Псевдокод===
[[File: ColorFlip.png|320px|thumb|upright| Color Flip]]
+
[[File: ColorFlip.png|320px|thumb|upright| Переворот цветов]]
 
+
   '''void''' flipColors(h : '''Node''' h)  
   '''void''' flipColors( h : '''Node''' h) :
 
 
       h.color = '''!''' h.color
 
       h.color = '''!''' h.color
       h.left.color = '''!''' h.left.color
+
       h.left.color = '''!''' h.left.color
       h.right.color = <tex> !</tex> h.right.color
+
       h.right.color = '''!''' h.right.color
  
 
==Вставка==
 
==Вставка==
Строка 46: Строка 45:
  
 
*Вставка нового узла к листу дерева:
 
*Вставка нового узла к листу дерева:
 +
Если высота узла  нулевая, возвращаем новый красный узел.
 
[[File:insertNode.png|310px|thumb|upright|Вставка нового узла]]
 
[[File:insertNode.png|310px|thumb|upright|Вставка нового узла]]
 
  if (h == null)
 
      return new Node(key, value, RED);
 
 
 
*Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
*Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 +
Если левый предок и правый предок  красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.
 
[[File:Split4node.png|310px|thumb|upright|Расщепление узла]]
 
[[File:Split4node.png|310px|thumb|upright|Расщепление узла]]
  if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
 
      colorFlip(h);
 
 
 
*Принудительное вращение влево:
 
*Принудительное вращение влево:
 
[[File:Enforce.png|310px|thumb|upright|Принудительное вращение]]
 
[[File:Enforce.png|310px|thumb|upright|Принудительное вращение]]
  if (isRed(h.right))
+
Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.
      h = rotateLeft(h);
 
 
 
 
*Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
*Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 
[[File:Balance4node.png|310px|thumb|Балансировка]]
 
[[File:Balance4node.png|310px|thumb|Балансировка]]
  if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
+
Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.
      h = rotateRight(h);
+
 
 
    
 
    
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
   '''void''' insert( '''key''' : Key, '''value''' : Value ):
+
   '''void''' insert(key : '''Key''', value : '''Value''' )  
 
         root = insert(root, key, value)
 
         root = insert(root, key, value)
 
         root.color = BLACK
 
         root.color = BLACK
  
  
   '''Node''' insert( h : '''Node''', key : '''Key''', value : '''Value'''):
+
   '''Node''' insert(h : '''Node''', key : '''Key''', value : '''Value''')
      //Вставка нового узла к листу дерева
+
      <span style="color:#008000">// Вставка нового листа</span>
 
       '''if''' h == ''null''     
 
       '''if''' h == ''null''     
 
           '''return''' '''new''' Node(key, value)
 
           '''return''' '''new''' Node(key, value)
      //Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками
+
      <span style="color:#008000">// Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 
       '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 
       '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 
           colorFlip(h)
 
           colorFlip(h)
      //Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]
+
      <span style="color:#008000">// Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]</span>
       '''int''' cmp = key.compareTo(h.key)
+
       '''if''' key = h.key  
      '''if'''  cmp == 0
 
 
           h.val = value
 
           h.val = value
 
       '''else'''  
 
       '''else'''  
           '''if''' cmp < 0
+
           '''if''' key < h.key 
 
               h.left = insert(h.left, key, value)   
 
               h.left = insert(h.left, key, value)   
 
           '''else'''  
 
           '''else'''  
 
               h.right = insert(h.right, key, value)
 
               h.right = insert(h.right, key, value)
          //Принудительное вращение влево
+
          <span style="color:#008000">// Принудительное вращение влево</span>
           '''if''' isRed(h.right) '''&&''' '''!'''isRed(h.left)  
+
           '''if''' isRed(h.right) '''&&''' '''!'''isRed(h.left)
 
               h = rotateLeft(h)
 
               h = rotateLeft(h)
          ////Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками
+
          <span style="color:#008000">// Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 
           '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 
           '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 
               h = rotateRight(h)
 
               h = rotateRight(h)
  '''return''' ''h''
+
      '''return''' h
  
 
==Поиск==
 
==Поиск==
 
Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].
 
Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].
 +
Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
  '''Value''' search(key : '''Key'''):
+
  '''Value''' search(key : '''Key''')
 
     '''Node''' x = root
 
     '''Node''' x = root
 
     '''while''' (x '''!'''= null)
 
     '''while''' (x '''!'''= null)
       '''int''' cmp = key.compareTo(x.key)
+
       '''if''' key = x.key
      '''if''' (cmp == 0)
 
 
           '''return''' x.val
 
           '''return''' x.val
 
       '''else'''
 
       '''else'''
           '''if''' (cmp < 0)
+
           '''if''' key < x.key
 
               x = x.left
 
               x = x.left
 
       '''else'''  
 
       '''else'''  
           '''if''' (cmp > 0)
+
           '''if''' key > x.key
 
               x = x.right
 
               x = x.right
'''return''' ''null''
+
    '''return''' ''null''
 +
 
 +
==Исправление правых красных связей==
 +
*Использование Переворота цветов и вращений  сохраняет баланс черной связи.
 +
*После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>4</tex>-я потомками
 +
      <span style="color:#008000">// Исправление правых красных связей</span>
 +
  '''Node''' fixUp(h : '''Node''') 
 +
      '''if''' isRed(h.right) 
 +
          h = rotateLeft(h) 
 +
      <span style="color:#008000">// Вращение <tex>2</tex>-ой красной пары пары</span>
 +
      '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 +
          h = rotateRight(h) 
 +
      <span style="color:#008000">// Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 +
      '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 +
          colorFlip(h) 
 +
      '''return''' h
  
==Удаление==
+
==Удаление максимума==
===Исправление правых красных связей===
 
*Использование <tex>flipColor</tex> и <tex>rotate</tex>  сохраняют баланс черной связи.
 
*После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>4-</tex>я потомками
 
      //Исправление правых красных связей
 
  '''Node''' fixUp(h : '''Node'''){
 
      '''if''' (isRed(h.right))
 
          h = rotateLeft(h);
 
      //Вращение <tex>red-red</tex> пары
 
      '''if''' (isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left))
 
          h = rotateRight(h);
 
      //Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками
 
      '''if''' (isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right))
 
          colorFlip(h);
 
  '''return''' h;
 
  }
 
===Удаление максимума===
 
 
* Спускаемся вниз по правому краю  дерева.
 
* Спускаемся вниз по правому краю  дерева.
 
* Если поиск заканчивается на узле с <tex>4</tex>-мя или <tex>5</tex>-ю потомками, просто удаляем узел.
 
* Если поиск заканчивается на узле с <tex>4</tex>-мя или <tex>5</tex>-ю потомками, просто удаляем узел.
  
 
[[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]]  
 
[[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]]  
* Удаление узла с <tex>2</tex>-я потомками разрушает баланс
+
* Удаление узла с <tex>2</tex>-я потомками нарушает баланс
Соответственно спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>2</tex>-м.
+
Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>2</tex>-м.
 
[[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]]  
 
[[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]]  
 
   
 
   
Будем поддерживать инвариант : Для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла '''красный'''.
+
Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла '''красный'''.
 
Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.
 
Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.
  
Строка 147: Строка 137:
  
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
  '''void''' deleteMax()
+
  '''void''' deleteMax()            
     root = deleteMax(root);
+
     root = deleteMax(root)        
     root.color = BLACK;
+
     root.color = BLACK              
  
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
     colorFlip(h);
+
     colorFlip(h)                    
     if (isRed(h.right.left)
+
     '''if''' isRed(h.right.left              
         h.right = rotateRight(h.right);
+
         h.right = rotateRight(h.right)      
         h = rotateLeft(h);
+
         h = rotateLeft(h)                  
         colorFlip(h);
+
         colorFlip(h)                        
'''return''' h
+
    '''return''' h                                          
  
 
  '''Node''' deleteMax(h : '''Node''')
 
  '''Node''' deleteMax(h : '''Node''')
     if (isRed(h.left))
+
     '''if''' isRed(h.left)                                        
     //вращаем все 3-вершины вправо
+
     <span style="color:#008000">// вращаем все 3-вершины вправо</span>
         h = rotateRight(h);
+
         h = rotateRight(h)
     //поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
+
     <span style="color:#008000">// поддерживаем инвариант (h должен быть красным)</span>
     if (h.right == null
+
     '''if''' h.right == ''null''
         return null;
+
         return ''null''
     //заимствуем у брата если необходимо
+
     <span style="color:#008000">// заимствуем у брата если необходимо</span>
     if (!isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left))  
+
     '''if''' !isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left)  
         h = moveRedRight(h);
+
         h = moveRedRight(h)
     // опускаемся на один уровень глубже  
+
     <span style="color:#008000">// опускаемся на один уровень глубже </span>
     h.left = deleteMax(h.left);
+
     h.left = deleteMax(h.left)  
     //исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
+
     <span style="color:#008000">// исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх</span>
     '''return''' fixUp(h);
+
     '''return''' fixUp(h)
  
 
==Удаление минимума==
 
==Удаление минимума==
Строка 182: Строка 172:
 
===Псевдокод===  
 
===Псевдокод===  
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
 
  '''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
     colorFlip(h);
+
     colorFlip(h)
     if (isRed(h.right.left))
+
     if isRed(h.right.left)
         h.right = rotateRight(h.right);
+
         h.right = rotateRight(h.right)
         h = rotateLeft(h);
+
         h = rotateLeft(h)
         colorFlip(h);
+
         colorFlip(h)
'''return''' h;
+
    '''return''' h
  
 
  '''void''' deleteMin()
 
  '''void''' deleteMin()
     root = deleteMin(root);
+
     root = deleteMin(root)
     root.color = BLACK;
+
     root.color = BLACK
  
 
  '''Node''' deleteMin(h : '''Node''')
 
  '''Node''' deleteMin(h : '''Node''')
    //удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
+
    <span style="color:#008000">// удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)</span>
     if (h.left == ''null'')   
+
     if h.left == ''null''  
         '''return''' ''null'';
+
         '''return''' ''null''
    //Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
+
      <span style="color:#008000">// Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз</span>
     '''if  !'''isRed(h.left) '''&&  !'''isRed(h.left.left)
+
     '''if  (!'''isRed(h.left) '''&&  !'''isRed(h.left.left))
           h = moveRedLeft(h);
+
           h = moveRedLeft(h)
    //опускаемся на уровень ниже
+
      <span style="color:#008000">// опускаемся на уровень ниже </span>
     h.left = deleteMin(h.left);
+
     h.left = deleteMin(h.left)
'''return''' fixUp(h);
+
    '''return''' fixUp(h)
 +
 
 
==Асимптотика==
 
==Асимптотика==
Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике [[Красно-черное дерево| левосторонних красно-черных деревьях]].
+
Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике [[Красно-черное дерево|базовой реализации красно-черных деревьях]].
  
==Источники информации==
 
* Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University
 
 
== См.также ==
 
== См.также ==
 
*[[Красно-черное дерево]]
 
*[[Красно-черное дерево]]
 
*[[Дерево поиска, наивная реализация]]
 
*[[Дерево поиска, наивная реализация]]
 +
==Источники информации==
 +
* Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]

Текущая версия на 23:42, 31 января 2019

Определение:
Левостороннее красно-черное дерево — тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.


Свойства[править]

  • Корневой узел всегда черный.
  • Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
  • Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.

Вращения[править]

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:

  • Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
  • Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют [math]3[/math]-узел (совокупность из [math]3[/math] узлов, где [math]2[/math] узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в [math]3[/math]-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция — наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.

Псевдокод[править]

Rotate Right
  Node rotateRight(h : Node) 
      x = h.left
      h.left = x.right
      x.right = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x
Rotate Left
  Node rotateLeft(h : Node) 
      x = h.right
      h.right = x.left
      x.left = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x

Переворот цветов[править]

В красно-черных деревьях используется такая операция как переворот цветов , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.

Псевдокод[править]

Переворот цветов
 void flipColors(h : Node h) 
      h.color = ! h.color
      h.left.color = ! h.left.color
      h.right.color = ! h.right.color

Вставка[править]

Вставка в ЛСКЧД базируется на [math]4[/math] простых операциях:

  • Вставка нового узла к листу дерева:

Если высота узла нулевая, возвращаем новый красный узел.

Вставка нового узла
  • Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками:

Если левый предок и правый предок красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.

Расщепление узла
  • Принудительное вращение влево:
Принудительное вращение

Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.

  • Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками:
Балансировка

Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.


Псевдокод[править]

 void insert(key : Key, value : Value ) 
        root = insert(root, key, value)
        root.color = BLACK


 Node insert(h : Node, key : Key, value : Value)
      // Вставка нового листа
     if h == null     
         return new Node(key, value)
      // Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками
     if isRed(h.left) && isRed(h.right)
         colorFlip(h)
      // Стандартная вставка в дереве поиска
     if key = h.key 
         h.val = value
     else 
         if key < h.key  
             h.left = insert(h.left, key, value)  
         else 
             h.right = insert(h.right, key, value)
          // Принудительное вращение влево
         if isRed(h.right) && !isRed(h.left)
             h = rotateLeft(h)
          // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
         if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
             h = rotateRight(h)
     return h

Поиск[править]

Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в наивной реализации дерева поиска. Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Псевдокод[править]

Value search(key : Key)
    Node x = root
    while (x != null)
      if key = x.key
          return x.val
      else
          if key < x.key
              x = x.left
      else 
          if key > x.key 
              x = x.right
    return null

Исправление правых красных связей[править]

  • Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.
  • После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с [math]4[/math]-я потомками
      // Исправление правых красных связей
  Node fixUp(h : Node)  
      if isRed(h.right)  
          h = rotateLeft(h)  
      // Вращение [math]2[/math]-ой красной пары пары
      if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
          h = rotateRight(h)  
      // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
      if isRed(h.left) && isRed(h.right)
          colorFlip(h)  
      return h

Удаление максимума[править]

  • Спускаемся вниз по правому краю дерева.
  • Если поиск заканчивается на узле с [math]4[/math]-мя или [math]5[/math]-ю потомками, просто удаляем узел.
Узлы до и после удаления
  • Удаление узла с [math]2[/math]-я потомками нарушает баланс

Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно [math]2[/math]-м.

ChangeNode.png

Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла красный. Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.

Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод[править]

void deleteMax()              
    root = deleteMax(root)         
    root.color = BLACK               
Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)                     
    if isRed(h.right.left                
        h.right = rotateRight(h.right)       
        h = rotateLeft(h)                   
        colorFlip(h)                          
    return h                                           
Node deleteMax(h : Node)
    if isRed(h.left)                                         
    // вращаем все 3-вершины вправо
        h = rotateRight(h)
    // поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
    if h.right == null
        return null
    // заимствуем у брата если необходимо
    if !isRed(h.right) && !isRed(h.right.left) 
        h = moveRedRight(h)
    // опускаемся на один уровень глубже 
    h.left = deleteMax(h.left) 
    // исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
    return fixUp(h)

Удаление минимума[править]

Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Заметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод[править]

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)
    if isRed(h.right.left)
        h.right = rotateRight(h.right)
        h = rotateLeft(h)
        colorFlip(h)
    return h
void deleteMin()
    root = deleteMin(root)
    root.color = BLACK
Node deleteMin(h : Node)
    // удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
    if h.left == null   
        return null
     // Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
    if  (!isRed(h.left) &&  !isRed(h.left.left))
         h = moveRedLeft(h)
     // опускаемся на уровень ниже 
    h.left = deleteMin(h.left)
    return fixUp(h)

Асимптотика[править]

Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике базовой реализации красно-черных деревьях.

См.также[править]

Источники информации[править]

  • Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University