Лексикографический порядок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 8 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть даны две последовательности <tex> ~A = a_1 a_2 ... a_n </tex>  и <tex> ~B = b_1 b_2 ... b_m </tex>  
+
|definition=Пусть даны две последовательности <tex> ~A = a_1 a_2 \dots a_n </tex>  и <tex> ~B = b_1 b_2 \dots b_m </tex>  
 
Тогда последовательность <tex> ~A </tex> '''лексикографически меньше''' (англ. ''lexicographically less'') последовательности <tex> ~B </tex>, если выполняется одно из двух условий:
 
Тогда последовательность <tex> ~A </tex> '''лексикографически меньше''' (англ. ''lexicographically less'') последовательности <tex> ~B </tex>, если выполняется одно из двух условий:
 
*<tex> n < m </tex> и при этом <tex> a_i = b_i </tex> для всех <tex>i \in [1 .. n] </tex>,
 
*<tex> n < m </tex> и при этом <tex> a_i = b_i </tex> для всех <tex>i \in [1 .. n] </tex>,
* <tex> \mathcal {9} k\leqslant \min(n, m): a_k < b_k </tex>  и при этом <tex> \mathcal {8} j < k ~a_j = b_j </tex>.
+
* <tex> \exists k\leqslant \min(n, m): a_k < b_k </tex>  и при этом <tex> \forall j : j < k ~a_j = b_j </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества '''Т''':
 
Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества '''Т''':
  '''function''' compare(A, B : '''list <T>''')   <font color=green>// Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны</font>
+
  '''function''' compare(A, B : '''list <T>'''): '''Ord'''  <font color=green>// Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны</font>
 
   '''for''' i = 1 '''to''' min(len(A), len(B))  
 
   '''for''' i = 1 '''to''' min(len(A), len(B))  
     '''if''' A[i] < B[i]                 <font color=green> // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
+
     '''if''' A[i] < B[i]                     <font color=green> // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
 
       '''return''' LT
 
       '''return''' LT
     '''if''' A[i] > B[i]                 <font color=green> // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
+
     '''if''' A[i] > B[i]                     <font color=green> // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
 
       '''return''' GT
 
       '''return''' GT
   '''if''' len(A) < len(B)               <font color=green>// А {{---}} префикс В, но не равна ей</font>
+
   '''if''' len(A) < len(B)                   <font color=green>// А {{---}} префикс В, но не равна ей</font>
 
     '''return''' LT
 
     '''return''' LT
   '''if''' len(A) > len(B)               <font color=green>// В {{---}} префикс А, но не равна ей</font>
+
   '''if''' len(A) > len(B)                   <font color=green>// В {{---}} префикс А, но не равна ей</font>
 
     '''return''' GT
 
     '''return''' GT
   '''return''' EQ                         <font color=green>// Длины последовательностей и все элементы равны</font>
+
   '''return''' EQ                             <font color=green>// Длины последовательностей и все элементы равны</font>
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=Последовательности записаны в '''лексикографическом порядке''' (англ. ''lexicographical order''), если для любых <tex> i<j </tex> выполняется неравенство <tex> S_i<S_j </tex>, где <tex> S_i </tex> и <tex> S_j </tex> последовательности с номерами <tex> i </tex> и <tex> j </tex>.
 
|definition=Последовательности записаны в '''лексикографическом порядке''' (англ. ''lexicographical order''), если для любых <tex> i<j </tex> выполняется неравенство <tex> S_i<S_j </tex>, где <tex> S_i </tex> и <tex> S_j </tex> последовательности с номерами <tex> i </tex> и <tex> j </tex>.
Строка 27: Строка 27:
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
* Перестановки (светло-фиолетовое общий префикс, так как 4 < 6, то и первая перестановка лексикографически меньше)
+
* Перестановки (<font color=#c355a0>'''светло-фиолетовым выделен'''</font> общий префикс, <font color=#992574>'''темно-фиолетовым'''</font> первый отличный элемент, так как <tex>4 < 6</tex>, то первая перестановка лексикографически меньше)
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
+
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"  
 
| [[Файл:Compareperm.png]]  
 
| [[Файл:Compareperm.png]]  
 
|}
 
|}
* Сочетания (светло-фиолетовое общий префикс, так как 4 < 6, то и первое сочетание лексикографически меньше)
+
* Сочетания (так как <tex>4 < 6</tex>, то первое сочетание лексикографически меньше)
 
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
| [[Файл:Comparechoose.png]]  
 
| [[Файл:Comparechoose.png]]  
 
|}
 
|}
* [[комбинаторные объекты|Разбиение на слагаемые]] (светло-фиолетовое общий префикс, так как 4 < 9, то и первое разбиение на слагаемые лексикографически меньше)
+
* [[комбинаторные объекты|Разбиение на слагаемые]] (так как <tex>4 < 9</tex>, то первое разбиение на слагаемые лексикографически меньше)
 
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
| [[Файл:Compare part.png]]  
 
| [[Файл:Compare part.png]]  

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Определение:
Пусть даны две последовательности [math] ~A = a_1 a_2 \dots a_n [/math] и [math] ~B = b_1 b_2 \dots b_m [/math]

Тогда последовательность [math] ~A [/math] лексикографически меньше (англ. lexicographically less) последовательности [math] ~B [/math], если выполняется одно из двух условий:

  • [math] n \lt m [/math] и при этом [math] a_i = b_i [/math] для всех [math]i \in [1 .. n] [/math],
  • [math] \exists k\leqslant \min(n, m): a_k \lt b_k [/math] и при этом [math] \forall j : j \lt k ~a_j = b_j [/math].


Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества Т:

function compare(A, B : list <T>): Ord  // Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны
  for i = 1 to min(len(A), len(B)) 
    if A[i] < B[i]                      // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return LT
    if A[i] > B[i]                      // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return GT
  if len(A) < len(B)                    // А — префикс В, но не равна ей
    return LT
  if len(A) > len(B)                    // В — префикс А, но не равна ей
    return GT
  return EQ                             // Длины последовательностей и все элементы равны
Определение:
Последовательности записаны в лексикографическом порядке (англ. lexicographical order), если для любых [math] i\lt j [/math] выполняется неравенство [math] S_i\lt S_j [/math], где [math] S_i [/math] и [math] S_j [/math] последовательности с номерами [math] i [/math] и [math] j [/math].

Например, слово "сон" лексикографически меньше слова "сонный", так как оно является его префиксом. Слово "низ" лексикографически меньше слова "нос", поскольку первые символы совпадают, а второй символ первого слова меньше, чем второй символ второго.



Примеры

  • Перестановки (светло-фиолетовым выделен общий префикс, темно-фиолетовым первый отличный элемент, так как [math]4 \lt 6[/math], то первая перестановка лексикографически меньше)
Compareperm.png
  • Сочетания (так как [math]4 \lt 6[/math], то первое сочетание лексикографически меньше)
Comparechoose.png
Compare part.png
  • Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке ([math]000[/math], [math]001[/math], [math]002[/math], [math]003[/math], [math]004[/math], [math]005[/math], [math]\dots[/math], [math]999[/math]).
  • Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок — это, например, [math]AAA[/math], [math]AAB[/math], [math]AAC[/math], [math]AAD[/math], [math]\dots[/math], [math]ZZZ[/math].
  • Эти слова тоже записаны в лексикографическом порядке: [math]airport[/math], [math]duck[/math], [math]horse[/math], [math]house[/math], [math]sleep[/math].

См. также

Источники информации