Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 35: Строка 35:
 
'''Рассмотрим повороты:'''
 
'''Рассмотрим повороты:'''
  
пусть <tex>k</tex> — общий делитель <tex>n_i</tex>ых<tex>(i \in [1..m]) \Rightarrow</tex> поворот <tex>a_1</tex> на угол <tex>\frac { 2\pi } { k }</tex> оставит неподвижными ожерелья из <tex>k</tex> одинаковых кусков длинны <tex>\frac {n} {k}</tex>. Каждый кусок состоит из <tex>\frac {n_i} { k } </tex> бусен <tex>i</tex>ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на <tex>\frac {n} {k}</tex> местах.
+
пусть <tex>k</tex> — общий делитель <tex>n_i</tex>ых<tex>(i \in [1..m]) \Rightarrow</tex> поворот <tex>a_1</tex> на угол <tex>\frac { 2\pi } { k }</tex> оставит неподвижными ожерелья из <tex>k</tex> одинаковых кусков длинны <tex>\frac {n} {k}</tex>. Каждый кусок состоит из <tex>\frac {n_i} { k } </tex> бусен <tex>i</tex>ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на <tex>\frac {n} {k}</tex> местах. Соответственно для перестановки <tex>d'</tex> число неподвижных точек будет равно <tex>t(d')=P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где <tex>P(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> — полиномиальные коэффициенты.
  
рассмотрим поворот <tex> a_i</tex> на угол <tex>\frac {2i\pi} {k}</tex>, где <tex> i \in [1..k]</tex>. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек <tex>a_1</tex>, если <tex> i</tex> взаимно просто с <tex>k</tex>. Количество взаимно простых с <tex>k</tex>(не превосходящих <tex>k</tex>) — является функцией Эйлера <tex>\phi(k)</tex>.
+
рассмотрим поворот <tex> a_i</tex> на угол <tex>\frac {2i\pi} {k}</tex>, где <tex> i \in [1..k]</tex>. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек <tex>a_1</tex>, если <tex> i</tex> взаимно просто с <tex>k</tex>. Количество взаимно простых с <tex>k</tex>(не превосходящих <tex>k</tex>) — является функцией Эйлера <tex>\phi(k)</tex>. Пусть <tex>S</tex> — сумма по всем поворотам, тогда <tex>S= \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где k пробегает множество общих делителей <tex>n_1, n_2, ..., n_m</tex>.
  
  

Версия 21:29, 9 августа 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Надо решить задачу о числе ожерелий!

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Лемма (Бернсайда):
Число орбит [math] = \frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } [/math]
Утверждение (1):
[math] |Orb(x)| = \frac { |G| } { |St(x) } [/math]

Преобразуем выражение для числа орбит, полученное из леммы Бернсайда.
[math]\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } = \frac { \sum_{ g \in G } \sum_{ x \in X } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } \sum_{ g \in G } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } |St(x)| } { |G| } = \sum_{ x \in X } \frac {1} { |Orb(x)| } [/math]
Последнее преобразование выполнено на основании утверждения 1.

Задача о числе ожерелий

Пусть есть [math]n[/math] бусинок [math]m[/math] разных сортов, [math]n_i[/math] назовем количество бусинок [math]i[/math]ого цвета[math](i \in [1;m])[/math]. Найти число ожерелий которые можно составить из этих бусинок. Ожерелья полученные поворотом друг из друга поворотом или отражением считаются одним ожерельем.

решение:

Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного [math]n[/math]угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно [math]n_i[/math]. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.

Пусть [math]M[/math] — множество всех возможных окрасок [math]n[/math]угольника, [math]D[/math] — группа симметрий [math]n[/math]угольника, состоящая из [math]2n[/math] преобразований. Группа [math]G[/math] определяет группу перестановок на множестве [math]M[/math]. Пусть [math] g \in D[/math] — некое преобразование симметрии [math] \Rightarrow [/math] для любого многоугольник [math]x \in M[/math] можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией [math]g[/math]. Назовем сопоставление этой перестановки [math]g'[/math]. Группу всех таких перестановок из [math]D[/math] назовем [math]D'[/math].

Два многоугольника будут считаться разными, если из одного невозможно получить другой какой-либо перестановкой [math]d' \in D'[/math] (они содержаться на разных орбитах группы [math]D'[/math] действующей на множестве [math]M[/math]). Поэтому для получения количества различных раскрасок вершин [math]n[/math]угольника достаточно найти количество орбит группы [math]D'[/math] на множестве [math]M[/math]. По лемме Бернсайда, для этого нужно посчитать число неподвижных точек каждой перестановки [math] d' \in D'[/math].


Рассмотрим повороты:

пусть [math]k[/math] — общий делитель [math]n_i[/math]ых[math](i \in [1..m]) \Rightarrow[/math] поворот [math]a_1[/math] на угол [math]\frac { 2\pi } { k }[/math] оставит неподвижными ожерелья из [math]k[/math] одинаковых кусков длинны [math]\frac {n} {k}[/math]. Каждый кусок состоит из [math]\frac {n_i} { k } [/math] бусен [math]i[/math]ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на [math]\frac {n} {k}[/math] местах. Соответственно для перестановки [math]d'[/math] число неподвижных точек будет равно [math]t(d')=P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })[/math], где [math]P(x_1, x_2, ..., x_m)[/math] — полиномиальные коэффициенты.

рассмотрим поворот [math] a_i[/math] на угол [math]\frac {2i\pi} {k}[/math], где [math] i \in [1..k][/math]. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек [math]a_1[/math], если [math] i[/math] взаимно просто с [math]k[/math]. Количество взаимно простых с [math]k[/math](не превосходящих [math]k[/math]) — является функцией Эйлера [math]\phi(k)[/math]. Пусть [math]S[/math] — сумма по всем поворотам, тогда [math]S= \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })[/math], где k пробегает множество общих делителей [math]n_1, n_2, ..., n_m[/math].


рассмотрим симметрии относительно осей:

1 случай:

[math]n[/math] — нечетно.

2 случай:

[math]n[/math] — четно.