Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Перенаправление на Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа)
 
(не показано 13 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
+
#перенаправление [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
|item1=Надо решить задачу о числе ожерелий!
 
}}
 
 
 
{{Лемма
 
|id=l1
 
|about=Бернсайда
 
|statement=
 
Число орбит <tex> = \frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } </tex>
 
}}
 
{{Утверждение
 
|id=s1
 
|about=1
 
|statement=
 
<tex> |Orb(x)| = \frac { |G| } { |St(x) } </tex>
 
}}
 
 
 
Преобразуем выражение для числа орбит, полученное из леммы Бернсайда. <br>
 
<tex>\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } = \frac { \sum_{ g \in G } \sum_{ x \in X } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } \sum_{ g \in G } \{gx = x\} } { |G| }
 
= \frac { \sum_{ x \in X } |St(x)| } { |G| } = \sum_{ x \in X } \frac {1} { |Orb(x)| } </tex> <br>
 
Последнее преобразование выполнено на основании утверждения 1.
 
 
 
=== Задача о числе ожерелий ===
 
Пусть есть <tex>n</tex> бусинок <tex>m</tex> разных сортов, <tex>n_i</tex> назовем количество бусинок <tex>i</tex>ого цвета<tex>(i \in [1;m])</tex>. Найти число ожерелий которые можно составить из этих бусинок. Ожерелья полученные поворотом друг из друга поворотом или отражением считаются одним ожерельем.
 
 
 
'''решение:'''
 
 
 
Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного <tex>n</tex>угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно <tex>n_i</tex>. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.
 
 
 
Пусть <tex>M</tex> — множество всех возможных окрасок <tex>n</tex>угольника, <tex>D</tex> — группа симметрий <tex>n</tex>угольника, состоящая из <tex>2n</tex> преобразований. Группа <tex>G</tex> определяет группу перестановок на множестве <tex>M</tex>. Пусть <tex> g \in D</tex> — некое преобразование симметрии <tex> \Rightarrow </tex> для любого многоугольник <tex>x \in M</tex> можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией <tex>g</tex>. Назовем сопоставление этой перестановки <tex>g'</tex>. Группу всех таких перестановок из <tex>D</tex> назовем <tex>D'</tex>.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[[Категория:Теория групп]]
 

Текущая версия на 23:11, 7 января 2016