Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю)
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 
==Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю==
 
==Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю==

Версия 07:33, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.
Эта статья находится в разработке!

Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю

Лемма (Гаусс, Вычисление квадратичного характера числа по простому модулю):
[math]\left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}[/math], где [math]\mu[/math] — число отрицательных вычетов в ряде абсолютно-наименьших вычетов произведений [math]1\cdot a,~2\cdot a, \dots,~\frac{p-1}{2}\cdot a[/math] по модулю [math]p[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\pm\varepsilon_i[/math] — наименьший вычет для [math]i \cdot a[/math], где [math]\varepsilon_i[/math] положительно. Когда [math]i[/math] пробегает значения между 1 и [math]\frac{p-1}{2}[/math], [math]\mu[/math] будет числом получившихся при этом знаков минус.[math]\varepsilon_i\ne\varepsilon_j[/math], при [math]i\ne j[/math]. Перемножая сравнения [math]1\cdot a \equiv \pm\varepsilon_1(mod~p),~2\cdot a \equiv \pm\varepsilon_2(mod~p), \dots, ~(\frac{p-1}{2})\cdot a \equiv \pm\varepsilon_{\frac{p-1}{2}}(mod~p)[/math], получаем:
[math](\frac{p-1}{2})!\cdot a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\mu}\cdot(\frac{p-1}{2})! (mod~p)[/math].

Значит [math]a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\mu}(mod~p);~a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \left(\cfrac{a}{p}\right)~\Rightarrow ~ \left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Квадратичный характер числа 2 по простому модулю

Итак, нас интересует [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)[/math]. В лемме Гаусса для числа 2, без учета требования того, что члены ряда — абсолютно-наименьшие, получим ряд [math]2,4,\dots,p-1[/math]. Применяя опущенное требование получим, что все члены ряда, меньшие [math]\frac{p}{2}[/math] останутся положительными, а остальные — станут отрицательными. Рассмотрим 4 случая:

  1. [math]p=1(mod~8)[/math]
  2. [math]p=3(mod~8)[/math]
  3. [math]p=5(mod~8)[/math]
  4. [math]p=7(mod~8)[/math]
  • Перый случай: [math]p=1(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=0 (mod~4)[/math]. Получается в лемме Гаусса количество чисел в ряде кратно 4. Рассмотрим два центральных числа — с номером [math]\frac{p-1}{4}[/math], и с номером [math]\frac{p-1}{4}+1[/math]. Очевидно первое из них положительно, и равно [math]\frac{p-1}{2}[/math], а второе отрицательно, и равно [math]\frac{p-1}{2}+2-p=\frac{p+3}{2}+p[/math]. Значит все числа делятся ровно пополам, и первые [math]\frac{p-1}{4}[/math] из них — положительны, а остальные — отрицательны. Но так как [math]\frac{p-1}{2}\vdots 4[/math], то в каждой половине четное количество чисел, значит количество знаков "минус" в ряде четное, значит, по лемме Гаусса, [math]\left(\cfrac{2}{p}\right) =1[/math].
  • Второй случай: [math]p=3(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=1 (mod~4)[/math]. Значит в лемме Гаусса количество чисел в ряде нечетно, причем если убрать одно число, то все остальные будут делиться на равные две части, количество чисел в каждой из которых — четно. Значит требуется узнать, является ли среднее число положительным, или отрицательным. Его номер [math]\frac{\frac{p-1}{2}-1}{2}+1[/math], следовательно оно равно [math]\frac{p-1}{2}-1+2=\frac{p+1}{2}\gt \frac{p}{2}[/math] — значит оно отрицательно, то есть в ряде четное число положительных, и нечетное число отрицательных чисел, значит [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1[/math].
  • Третий случай: [math]p=5(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=2 (mod~4)[/math]. Получаем ситуацию как в первом случае, с тем отличием, что в каждой половине ряда нечетное количество чисел — значит отрицательных чисел нечетное количество, и значит [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1[/math].
  • Четвертый случай: [math]p=7(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=3 (mod~4)[/math]. Аналогично второму случаю, но при разбиение на две половины, количество чисел в каждой из них — нечетно. Число в середине так же получим отрицательное, значит всего отрицательных чисел четное количество, и [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=1[/math].