Лемма Огдена — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
# либо <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, либо <tex>y</tex> и <tex>z</tex> обе содержат выделенные позиции;
 
# либо <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, либо <tex>y</tex> и <tex>z</tex> обе содержат выделенные позиции;
 
# <tex>vxy</tex> содержат не более <tex>n</tex> выделенных позиций;
 
# <tex>vxy</tex> содержат не более <tex>n</tex> выделенных позиций;
# существует <tex>A \in N</tex>, такой что <tex>S \Rightarrow^{+} uAz \Rightarrow^{+} uvAyz \Rightarrow^{+} uvxyz</tex>.
+
# существует <tex>A \in N</tex>, такой что <tex>S \Rightarrow^{+} uAz \Rightarrow^{+} uvAyz \Rightarrow^{+} uvxyz</tex>. (т.е. <tex>\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L</tex>)
 
|proof=
 
|proof=
 
Введем следующие обозначения: <tex>m = |N|</tex> и <tex>l</tex> — длина самой длинной правой части правила из <tex>P</tex>. Тогда в качестве <tex>n</tex> возьмем <tex>l^{2m + 3}</tex>. Рассмотрим дерево разбора <tex>T</tex> для произвольного слова <tex>\omega \in L(\Gamma)</tex>, у которого <tex>|\omega| \ge n</tex>. В силу выбора <tex>n</tex> в <tex>T</tex> будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее <tex>2m + 3</tex>. Произвольным образом выделим в <tex>\omega</tex> не менее <tex>n</tex> позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева <tex>T</tex> будем называть выделенными.
 
Введем следующие обозначения: <tex>m = |N|</tex> и <tex>l</tex> — длина самой длинной правой части правила из <tex>P</tex>. Тогда в качестве <tex>n</tex> возьмем <tex>l^{2m + 3}</tex>. Рассмотрим дерево разбора <tex>T</tex> для произвольного слова <tex>\omega \in L(\Gamma)</tex>, у которого <tex>|\omega| \ge n</tex>. В силу выбора <tex>n</tex> в <tex>T</tex> будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее <tex>2m + 3</tex>. Произвольным образом выделим в <tex>\omega</tex> не менее <tex>n</tex> позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева <tex>T</tex> будем называть выделенными.
Строка 20: Строка 20:
 
Условие (1) выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие (4) выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие (2) выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие (3) выполнено.
 
Условие (1) выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие (4) выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие (2) выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие (3) выполнено.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Пример не КС-языка, для которого выполняется лемма ==
 +
Докажем, что можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако он не будет контекстно-свободным. Выберем <tex>P</tex> {{---}} подмножество <tex>N</tex> и
 +
 +
<tex>A_{p} = \{ (ab)^n \mid P \in N \} </tex>
 +
 +
<tex>B_{p} = A_{p} \cup X^* \{aa, bb\}X^*</tex>
 +
 +
Языки над <tex>X=\{a, b\}</tex>.
 +
 +
Очевидно, что <tex>B_{p}</tex> КС, если <tex>A_{p}</tex> контекстно-свободен. <tex>B_{p}</tex> является рекурсивно-перечислимым, если и <tex>A_{p}</tex> им является.
 +
 +
Для <tex>B_{p}</tex> будет выполняться лемма Огдена для <tex>n = 4</tex>. Выбрав <tex>A_{p}</tex> таким образом, чтобы он был рекурсивно-перечислимым, мы создадим такой язык. (Такие языки существуют) 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
Строка 27: Строка 40:
  
 
*Hopcroft, Motwani and Ullman  {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.
 
*Hopcroft, Motwani and Ullman  {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.
 +
*Ogden, W. (1968). "A helpful result for proving inherent ambiguity". Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.
 +
*[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/ITA_1978__12_3/ITA_1978__12_3_201_0/ITA_1978__12_3_201_0.pdf On languages satisfying Ogden's lemma]
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]

Версия 23:43, 3 января 2017

Лемма:
Для каждой контекстно-свободной грамматики [math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math] существует такое [math]n[/math], что для любого слова [math]\omega \in L(\Gamma)[/math] длины не менее [math]n[/math] и для любых выделенных в [math]\omega[/math] не менее [math]n[/math] позиций, [math]\omega[/math] может быть представлено в виде [math]\omega=uvxyz[/math], причем:
  1. [math]x[/math] содержит выделенную позицию;
  2. либо [math]u[/math] и [math]v[/math], либо [math]y[/math] и [math]z[/math] обе содержат выделенные позиции;
  3. [math]vxy[/math] содержат не более [math]n[/math] выделенных позиций;
  4. существует [math]A \in N[/math], такой что [math]S \Rightarrow^{+} uAz \Rightarrow^{+} uvAyz \Rightarrow^{+} uvxyz[/math]. (т.е. [math]\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L[/math])
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Введем следующие обозначения: [math]m = |N|[/math] и [math]l[/math] — длина самой длинной правой части правила из [math]P[/math]. Тогда в качестве [math]n[/math] возьмем [math]l^{2m + 3}[/math]. Рассмотрим дерево разбора [math]T[/math] для произвольного слова [math]\omega \in L(\Gamma)[/math], у которого [math]|\omega| \ge n[/math]. В силу выбора [math]n[/math] в [math]T[/math] будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее [math]2m + 3[/math]. Произвольным образом выделим в [math]\omega[/math] не менее [math]n[/math] позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева [math]T[/math] будем называть выделенными.

Пусть [math]v_1[/math] — корень [math]T[/math], а [math]v_{i + 1}[/math] — сын [math]v_i[/math], который имеет среди своих потомков наибольшее число выделенных листьев (если таких несколько, то [math]v_{i + 1}[/math] самый правый из них). Рассмотрим [math]v_1, v_2, ..., v_p[/math] — путь от корня до листа.

Будем называть ветвящейся ту вершину, у которой по крайне мере два сына имеют выделенных потомков. Докажем по индукции, что если среди [math]v_1, v_2, ..., v_i[/math] вершин есть [math]k[/math] ветвящихся, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет хотя бы [math]l^{2m + 3 - k}[/math] выделенных потомков.
База индукции: [math]i = 0[/math]. Тогда [math]k = 0[/math] и [math]v_1[/math] имеет по крайне мере [math]n[/math] выделенных потомков, поскольку является корнем.
Индукционный переход. Если [math]v_i[/math] не является ветвящейся вершиной, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет такое же число ветвящихся потомков, как и [math]v_i[/math]. Если [math]v_i[/math] — ветвящаяся вершина, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет не более чем в [math]l[/math] раз меньшее число выделенных потомков.

Поскольку [math]v_1[/math] имеет хотя бы [math]n = l^{2m + 3}[/math] выделенных потомков, то [math]v_1, v_2, ..., v_p[/math] содержит по крайне мере [math]2m + 3[/math] ветвящиеся вершин. Заметим, что [math]v_p[/math] — лист, поэтому [math]p \gt 2m + 3[/math].

Дерево вывода [math]T[/math]
Будем называть [math]v_i[/math] левой ветвящейся вершиной, если ее сын, не принадлежащий пути [math]v_1, v_2, ..., v_p[/math], имеет выделенного потомка, лежащего слева от [math]v_p[/math]. В противном случае назовем [math]v_i[/math] правой ветвящейся вершиной. Рассмотрим последние [math]2m + 3[/math] вершины, принадлежащие пути [math]v_1, v_2, ..., v_p[/math]. Предположим, что хотя бы [math]m + 2[/math] вершины — левые ветвящиеся (случай, когда хотя бы [math]m + 2[/math] вершины — правые ветвящиеся, разбирается аналогично). Пусть [math]u_1, u_2, ..., u_{m + 2}[/math] — последние [math]m + 2[/math] левые ветвящиеся вершины. Поскольку [math]m = |N|[/math], то среди них можно найти как минимум две вершины, соответствующие одному нетерминалу. Обозначим эти вершины [math]a[/math] и [math]b[/math], причем [math]b[/math] — потомок [math]a[/math]. Тогда на рисунке показано, как представить [math]\omega[/math] в требуемом виде.


Условие (1) выполнено, поскольку [math]x[/math] содержит выделенную вершину, а именно [math]v_p[/math]. Очевидно, что условие (4) выполнено в силу предложенного разбиения [math]\omega[/math]. Кроме того, [math]u[/math] содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины [math]u_1[/math]. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины [math]a[/math] содержится в [math]v[/math]. Таким образом, условие (2) выполнено. Поскольку между [math]v_p[/math] и [math]a[/math] не более [math]2m + 3[/math] вершин, вершина [math]a[/math] имеет не более [math]n[/math] выделенных потомков, поэтому условие (3) выполнено.
[math]\triangleleft[/math]

Пример не КС-языка, для которого выполняется лемма

Докажем, что можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако он не будет контекстно-свободным. Выберем [math]P[/math] — подмножество [math]N[/math] и

[math]A_{p} = \{ (ab)^n \mid P \in N \} [/math]

[math]B_{p} = A_{p} \cup X^* \{aa, bb\}X^*[/math]

Языки над [math]X=\{a, b\}[/math].

Очевидно, что [math]B_{p}[/math] КС, если [math]A_{p}[/math] контекстно-свободен. [math]B_{p}[/math] является рекурсивно-перечислимым, если и [math]A_{p}[/math] им является.

Для [math]B_{p}[/math] будет выполняться лемма Огдена для [math]n = 4[/math]. Выбрав [math]A_{p}[/math] таким образом, чтобы он был рекурсивно-перечислимым, мы создадим такой язык. (Такие языки существуют)

См. также

Лемма о разрастании для КС-грамматик

Источники

  • Hopcroft, Motwani and Ullman — Automata Theory, Languages, and Computation — Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.
  • Ogden, W. (1968). "A helpful result for proving inherent ambiguity". Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.
  • On languages satisfying Ogden's lemma