Лемма Римана-Лебега — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 16 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Теорема Фейера|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|>>]]
 +
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
ololo
+
{{Лемма
{{Утверждение
+
|author=
|author= Лемма Римана-Лебега
+
Риман-Лебег
|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>, при <tex>n \to \infty</tex>
+
|statement=
|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется: <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>,
+
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> коэффициенты ряда Фурье <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.  
+
|proof=
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>. По обобщенной теореме Вейерштрасса <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для <tex>b_n</tex> доказывается аналогично.
+
<tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>.  
 +
 
 +
Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>.
 +
 
 +
Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:
 +
 
 +
<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.
 +
 
 +
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx </tex>
 +
<tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.  
 +
 
 +
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| \cdot |\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = </tex>
 +
 
 +
<tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.
 +
 
 +
По обобщенной теореме Вейерштрасса, <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно, <tex>a_n(f) \to 0</tex>.
 +
 
 +
Доказательство для <tex>b_n</tex> аналогично приведенному выше.
 
}}
 
}}
 +
 +
Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
 +
 +
{{Лемма
 +
|author=
 +
Риман-Лебег
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}|f| < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
 +
|proof=
 +
На самом деле обе леммы равносильны.
 +
# Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
 +
# В обратную сторону: так как интеграл от модуля функции сходится, то необходимо <tex> | \int\limits_{|x| > a} f(x) \cos(px) | \le \int\limits_{|x| > a} |f(x)| \xrightarrow[a \to \infty]{} 0 </tex>. На отрезке <tex> [-a; a] </tex> можно сжать интервал интегрирования в <tex> [-\pi; \pi] </tex>.
 +
}}
 +
 +
Из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый '''принципом локализации Римана рядов Фурье'''.
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Риман
 +
|about= Принцип локализации
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
 +
|proof=
 +
Для удобства записи, в силу <tex>2\pi</tex>-периодичности, сдвинем точку <tex>x</tex> в ноль.
 +
 +
<tex> S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.
 +
 +
<tex> S_n(g, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.
 +
 +
Разобьем данные интегралы на три части: <tex> \int\limits_{-\pi}^{\pi} = \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{-\delta}^{\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} </tex>.
 +
 +
Рассмотрим разность двух сумм:
 +
 +
<tex> S_n(f, x) - S_n(g, x) = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} - \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} - \int\limits_{\delta}^{\pi}) </tex> (интегралы по участку <tex> [-\delta; \delta] </tex> равны).
 +
 +
Рассмотрим, например, первый из четырех интегралов:
 +
 +
<tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex>
 +
 +
<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) \mathrm{ctg} \frac{t}2 \sin nt dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.
 +
 +
Так как функции <tex> f(x+t) \mathrm{ctg} \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
 +
 +
}}
 +
 +
[[Теорема Фейера|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

<<>>

Эта статья находится в разработке!
Лемма (Риман-Лебег):
Пусть [math]f \in L_1[/math], тогда при [math] n \to \infty [/math] коэффициенты ряда Фурье [math]a_n \to 0[/math], [math]b_n \to 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|[/math].

Пусть [math]T_{n-1}(f)_1[/math] — полином наилучшего приближения функции [math]f[/math], степени, не большей [math]n-1[/math], в пространстве [math]L_1[/math].

Так как это сумма вида [math]\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})[/math], то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:

[math]\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0[/math].

[math]\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx [/math] [math] = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx[/math].

Тогда [math]|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| \cdot |\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = [/math]

[math] = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1[/math], то есть [math]|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1[/math].

По обобщенной теореме Вейерштрасса, [math]E_{n-1}(f)_1 \to 0[/math], следовательно, [math]a_n(f) \to 0[/math].

Доказательство для [math]b_n[/math] аналогично приведенному выше.
[math]\triangleleft[/math]

Следует иметь в виду, что [math]\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx[/math] не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что [math]|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx[/math] ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для [math]2\pi[/math]-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:

Лемма (Риман-Лебег):
Пусть [math]\int\limits_{\mathbb{R}}|f| \lt +\infty[/math], тогда [math]\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0[/math] при [math]p \to \infty[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

На самом деле обе леммы равносильны.

  1. Первая получается из второй, если подставить [math]f = 0[/math] вне отрезка [math]Q[/math].
  2. В обратную сторону: так как интеграл от модуля функции сходится, то необходимо [math] | \int\limits_{|x| \gt a} f(x) \cos(px) | \le \int\limits_{|x| \gt a} |f(x)| \xrightarrow[a \to \infty]{} 0 [/math]. На отрезке [math] [-a; a] [/math] можно сжать интервал интегрирования в [math] [-\pi; \pi] [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый принципом локализации Римана рядов Фурье.

Теорема (Риман, Принцип локализации):
Пусть [math]f,g \in L_1[/math], [math]0 \lt \delta \lt \pi[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math]. Пусть также в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x[/math] выполняется [math]f = g[/math], тогда [math]\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для удобства записи, в силу [math]2\pi[/math]-периодичности, сдвинем точку [math]x[/math] в ноль.

[math] S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt [/math].

[math] S_n(g, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt [/math].

Разобьем данные интегралы на три части: [math] \int\limits_{-\pi}^{\pi} = \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{-\delta}^{\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} [/math].

Рассмотрим разность двух сумм:

[math] S_n(f, x) - S_n(g, x) = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} - \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} - \int\limits_{\delta}^{\pi}) [/math] (интегралы по участку [math] [-\delta; \delta] [/math] равны).

Рассмотрим, например, первый из четырех интегралов:

[math] \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = [/math]

[math] = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) \mathrm{ctg} \frac{t}2 \sin nt dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )[/math].

Так как функции [math] f(x+t) \mathrm{ctg} \frac{t} 2 [/math] и [math] f(x+t) [/math] суммируемы на [math] (-\pi; -\delta) [/math], то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при [math] n \to \infty [/math]. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>