Лемма о паросочетании в графе замен — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
о паросочетании в графе замен
 
о паросочетании в графе замен
 
|statement= Пусть <tex>M = \langle X,I \rangle </tex> &mdash;  матроид. Множества <tex>A, B \in I</tex>, причем <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>G_M(A) = \{ (x, y) | x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.
 
|statement= Пусть <tex>M = \langle X,I \rangle </tex> &mdash;  матроид. Множества <tex>A, B \in I</tex>, причем <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>G_M(A) = \{ (x, y) | x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.
|proof= Индукция по <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>.<br> 1)База индукции очевидна. В случае, когда <tex>A \bigtriangleup B = \emptyset </tex>, есть пустое паросочетание. <br> 2)Покажем, что справедлив и индукционный переход. Рассмотрим матроид <tex>M_1 = \langle X, \{ K | K \in I, |K| \leq |A| \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in I</tex> и <tex>|A| = |B|</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>. Тогда по [[Теорема о базах|теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : A \setminus x \cup y \in I</tex>, поэтому <tex>(x, y) \in G_M(A)</tex>. Множества <tex>A \setminus x </tex> и <tex>B \setminus y</tex> являются независимыми как подмножества независимых и их <tex>\bigtriangleup</tex> имеет меньшую мощность, чем <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. Тогда по предположению индукции на их <tex>\bigtriangleup</tex> есть полное паросочетание, которое вместе с <tex>(x, y)</tex> составляет полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>, а значит индукционный переход справедлив.
+
|proof=  
 +
 
 +
Индукция по <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>.
 +
 +
* База  
 +
*: В случае, когда <tex>A \bigtriangleup B = \emptyset </tex>, есть пустое паросочетание.  
 +
* Переход
 +
*: Рассмотрим матроид <tex>M_1 = \langle X, \{ K | K \in I, |K| \leq |A| \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in I</tex> и <tex>|A| = |B|</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>. Тогда по [[Теорема о базах|теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : A \setminus x \cup y \in I</tex>, поэтому <tex>(x, y) \in G_M(A)</tex>. Множества <tex>A \setminus x </tex> и <tex>B \setminus y</tex> являются независимыми как подмножества независимых и их <tex>\bigtriangleup</tex> имеет меньшую мощность, чем <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. Тогда по предположению индукции на их <tex>\bigtriangleup</tex> есть полное паросочетание, которое вместе с <tex>(x, y)</tex> составляет полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>, а значит индукционный переход справедлив.
 +
 
 +
Утверждение доказано.
 
}}
 
}}
  

Версия 09:52, 4 апреля 2016

Лемма (о паросочетании в графе замен):
Пусть [math]M = \langle X,I \rangle [/math] — матроид. Множества [math]A, B \in I[/math], причем [math]|A| = |B|[/math]. Тогда двудольный граф [math]G_M(A) = \{ (x, y) | x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}[/math] содержит полное паросочетание на [math]A \bigtriangleup B[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Индукция по [math]|A \bigtriangleup B|[/math].

  • База
    В случае, когда [math]A \bigtriangleup B = \emptyset [/math], есть пустое паросочетание.
  • Переход
    Рассмотрим матроид [math]M_1 = \langle X, \{ K | K \in I, |K| \leq |A| \} \rangle[/math]. Множества [math]A, B \in I[/math] и [math]|A| = |B|[/math], а значит они являются базами для матроида [math]M_1[/math]. Тогда по теореме о базах [math]\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : A \setminus x \cup y \in I[/math], поэтому [math](x, y) \in G_M(A)[/math]. Множества [math]A \setminus x [/math] и [math]B \setminus y[/math] являются независимыми как подмножества независимых и их [math]\bigtriangleup[/math] имеет меньшую мощность, чем [math]|A \bigtriangleup B|[/math]. Тогда по предположению индукции на их [math]\bigtriangleup[/math] есть полное паросочетание, которое вместе с [math](x, y)[/math] составляет полное паросочетание на [math]A \bigtriangleup B[/math], а значит индукционный переход справедлив.
Утверждение доказано.
[math]\triangleleft[/math]