Редактирование: Лемма о разрастании для КС-грамматик

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
__FORCETOC__
 
== Лемма о разрастании для КС-грамматик ==
 
 
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|id=lemma
+
|id= ==lemma==
 
|about=о разрастании КС-грамматик
 
|about=о разрастании КС-грамматик
 
|statement=
 
|statement=
Строка 11: Строка 8:
 
Выберем <tex>n=2^{m+1}</tex>. Построим дерево разбора произвольного слова <tex>\omega</tex> длиной больше, чем <tex>n</tex>.  Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка <tex>L</tex> записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому  высота дерева разбора слова <tex>\omega</tex> не меньше <tex>m+1</tex>.
 
Выберем <tex>n=2^{m+1}</tex>. Построим дерево разбора произвольного слова <tex>\omega</tex> длиной больше, чем <tex>n</tex>.  Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка <tex>L</tex> записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому  высота дерева разбора слова <tex>\omega</tex> не меньше <tex>m+1</tex>.
  
Выберем путь от корня дерева к листу максимальной длины. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем <tex>m+1</tex>, следовательно, найдется такой нетерминал <tex>B</tex>, который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал <tex>B</tex>, в поддереве которого содержится нетерминал  <tex>B</tex>. Выберем такой нетерминал <tex>A</tex>, чтобы в его поддереве содержался такой же нетерминал и длина пути от него до корня была максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал.
+
Рассмотрим самый длинный путь от вершины дерева разбора до листа. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем <tex>m+1</tex>, следовательно, найдется такой нетерминал <tex>B</tex>, который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал <tex>B</tex>, в поддереве которого содержится нетерминал  <tex>B</tex>. Выберем нетерминал <tex>A</tex>, у которого в поддереве содержится такой же нетерминал и длина пути до корня максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал.
 
 
Найдем слова <tex> u,v,x,y,z </tex>.
 
 
 
*Рассмотрим нетерминал <tex>A</tex>, содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда <tex>x</tex> {{---}} строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала  в данном дереве разбора. Тогда <tex>A \Rightarrow^{*} x</tex>.
 
*Рассмотрим выбранный ранее нетерминал <tex>A</tex>. Пусть <tex>t</tex> {{---}} строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал <tex>A</tex> содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то <tex>A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом как минимум одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть <tex>v</tex> и <tex>y</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены  соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, в данном дереве разбора. Тогда <tex>t = vxy</tex>. Так как хотя бы одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, то <tex>vy\neq \varepsilon</tex>. Получаем <tex>A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy</tex>.
 
*Рассмотрим стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Из <tex>S</tex> выведена строка <tex>\omega</tex>. При этом <tex>S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega </tex>, где <tex>A</tex> {{---}} выбранный ранее нетерминал. Из <tex>A</tex> в данном дереве разбора выведена строка <tex>vxy</tex>. Пусть <tex>u</tex> и <tex>z</tex> {{---}} строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> в данном дереве разбора. Тогда <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega</tex>.
 
  
Покажем, что <tex>|vxy| \leqslant n</tex>. Допустим, что <tex>|vxy|>n</tex>. Тогда высота поддерева с корнем в вершине, соответствующей выбранному <tex>A</tex>, не меньше <tex>m+2</tex>. Рассмотрим поддерево вершины, в котором содержится нетерминал <tex>A</tex>. Тогда высота этого поддерева не меньше <tex>m+1</tex>. Рассмотрим путь максимальной длины от корня этого поддерева к листу. В нем содержится не менее <tex>m+1</tex> нетерминалов, причем не содержится стартовый нетерминал. Следовательно, на этом пути найдутся два одинаковых нетерминала, что противоречит условию наибольшей удаленности от корня выбранного ранее нетерминала <tex>A</tex>. Получили противоречие. Поэтому <tex>|vxy|\leqslant n</tex>.
+
Далее рассмотрим путь от предпоследнего повторения нетерминала <tex> A</tex> до последнего его вхождения в дерево. Если из вершины был сделан переход в левое поддерево, то строка, выведенная из правого поддерева, будет частью <tex>y</tex>. Аналогично из левых поддеревьев получаем <tex>v</tex>. Так как грамматика записана в НФХ, то либо <tex>v</tex>, либо <tex>y</tex> не будет пустой строкой, то есть условие <tex>|vy|>0</tex> выполнено.
Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.
+
Таким образом, <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.
 
}}
 
}}
 
'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для контекстно-свободности языка. Но, в силу необходимости условия, данная лемма часто используется для доказательства неконтекстно-свободности языков.
 
 
== Пример доказательства неконтекстно-свободности языка с использованием леммы ==
 
 
Рассмотрим язык <tex>0^{n}1^{n}2^{n}</tex>. Покажем, что он не является контекстно-свободным.
 
 
Для фиксированного <tex>n</tex> рассмотрим слово <tex>\omega=0^n 1^n 2^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> разбили на <tex>u, v, x, y, z</tex> произвольным образом. Так как <tex>|vxy|\leqslant n</tex>, то в слове  <tex>vxy</tex> не содержится либо ни одного символа <tex>0</tex>, либо ни одного символа <tex>2</tex>. Для любого такого разбиения выбираем <tex>k=2</tex> и получаем, что количество символов <tex>1</tex> изменилось, а количество либо <tex>0</tex>, либо <tex>2</tex> осталось тем же. Очевидно, что такое слово не принадлежит рассмотренному языку. Значит, язык <tex>0^{n}1^{n}2^{n}</tex> не является контекстно-свободным по лемме о разрастании для КС-грамматик.
 
 
== Пример не КС-языка, для которого выполняется лемма ==
 
 
Рассмотрю язык <tex>L=\{a^{n}b^{n}c^{i}\mid i \neq n\}</tex>.
 
 
'''Докажем, что он не контекстно-свободный'''. Для этого воспользуемся [[Лемма_Огдена|леммой Огдена]]. Для фиксированного <tex>n</tex> рассмотрим слово <tex>\omega=a^n b^n c^{n!+n}</tex>. Пометим все символы <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> разбили на <tex>u, v, x, y, z</tex>, так что <tex>x</tex> содержит выделенную позицию; <tex>u</tex> и <tex>v</tex> содержат выделенные позиции и <tex>vxy</tex> содержат не более <tex>n</tex> выделенных позиций. Тогда очевидно, что <tex>vy</tex> должно содержать одинаковое число символов <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, иначе выбираем <tex>k=0</tex> и тогда количество символов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> станет разным. Пусть символов <tex>a</tex> в <tex>vy</tex> будет <tex>t</tex>. Так же очевидно, что <tex>vy</tex> не содержит символов <tex>c</tex>, так как <tex>vxy</tex> содержат не более <tex>n</tex> выделенных позиций, но <tex>v</tex> точно содержит символ <tex>a</tex>. Тогда выберем <tex>k=\dfrac{n!}{t}+1</tex> и получим слово <tex>a^{n!+n}b^{n!+n}c^{n!+n}</tex>, которое не принадлежит рассмотренному языку. Значит <tex>a^{n}b^{n}c^{i}</tex> не является контекстно-свободным.
 
 
'''Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании'''. Выберем <tex>n=5</tex>. Это значит, что длина рассматриваемых слов не меньше <tex>3</tex>. Рассмотрим случаи:
 
# <tex>c^i</tex>
 
#:Выберем <tex>u=c^{i-1}</tex>, <tex>v=c</tex>, <tex>x=y=z=\varepsilon</tex>.
 
# <tex>a^jb^j</tex>
 
#:Выберем <tex>u=a^{j-1}</tex>, <tex>v=a</tex>, <tex>x=\varepsilon</tex>, <tex>y=b</tex>, <tex>z=b^{j-1}</tex>.
 
# <tex>a^jb^jc^i</tex>, где <tex>i < j-1</tex>
 
#:Выберем <tex>u=a^{j-1}</tex>, <tex>v=a</tex>, <tex>x=\varepsilon</tex>, <tex>y=b</tex>, <tex>z=b^{j-1}c^i</tex>.
 
# <tex>a^jb^jc^{j-1}</tex>
 
#:Выберем <tex>u=a^{j-2}</tex>, <tex>v=aa</tex>, <tex>x=\varepsilon</tex>, <tex>y=bb</tex>, <tex>z=b^{j-2}c^i</tex>.
 
# <tex>a^jb^jc^{j+1}</tex>
 
#:Выберем <tex>u=a^{j-2}</tex>, <tex>v=aa</tex>, <tex>x=\varepsilon</tex>, <tex>y=bb</tex>, <tex>z=b^{j-2}c^i</tex>.
 
# <tex>a^jb^jc^i</tex>, где <tex>i>j+1</tex>
 
#:Выберем <tex>u=a^jb^jc^{i-1}</tex>, <tex>v=c</tex>, <tex>x=y=z=\varepsilon</tex>.
 
 
Таким образом язык <tex>L</tex> '''не''' контекстно-свободный, но удовлетворяет второй части леммы.
 
 
== См. также ==
 
* [[Лемма_Огдена|Лемма Огдена]]
 
 
== Источники ==
 
 
* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. {{---}} Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Опровержение контекстно-свободности языка]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: