Лемма о разрастании для КС-грамматик — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Добавлено содержание (при помощи __FORCETOC__))
м (Лемма о разрастании для КС-грамматик)
Строка 11: Строка 11:
 
Выберем <tex>n=2^{m+1}</tex>. Построим дерево разбора произвольного слова <tex>\omega</tex> длиной больше, чем <tex>n</tex>.  Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка <tex>L</tex> записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому  высота дерева разбора слова <tex>\omega</tex> не меньше <tex>m+1</tex>.
 
Выберем <tex>n=2^{m+1}</tex>. Построим дерево разбора произвольного слова <tex>\omega</tex> длиной больше, чем <tex>n</tex>.  Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка <tex>L</tex> записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому  высота дерева разбора слова <tex>\omega</tex> не меньше <tex>m+1</tex>.
  
Выберем путь от корня дерева к листу максимальной длины. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем <tex>m+1</tex>, следовательно, найдется такой нетерминал <tex>B</tex>, который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал <tex>B</tex>, в поддереве которого содержится нетерминал  <tex>B</tex>. Выберем нетерминал <tex>A</tex> так, чтобы в его поддереве содержался такой же нетерминал и длина пути от него до корня была максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал.
+
Выберем путь от корня дерева к листу максимальной длины. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем <tex>m+1</tex>, следовательно, найдется такой нетерминал <tex>B</tex>, который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал <tex>B</tex>, в поддереве которого содержится нетерминал  <tex>B</tex>. Выберем такой нетерминал <tex>A</tex>, чтобы в его поддереве содержался такой же нетерминал и длина пути от него до корня была максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал.
  
 
Найдем слова <tex> u,v,x,y,z </tex>.
 
Найдем слова <tex> u,v,x,y,z </tex>.
  
*Рассмотрим нетерминал <tex>A</tex>, содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда <tex>x</tex> - строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала  в данном дереве разбора. Тогда <tex>A \Rightarrow^{*} x</tex>.  
+
*Рассмотрим нетерминал <tex>A</tex>, содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда <tex>x</tex> {{---}} строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала  в данном дереве разбора. Тогда <tex>A \Rightarrow^{*} x</tex>.  
*Рассмотрим выбранный ранее нетерминал <tex>A</tex>. Пусть <tex>t</tex> - строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал <tex>A</tex> содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то <tex>A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом, как минимум одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть <tex>v</tex> и <tex>y</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены  соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, в данном дереве разбора. Тогда <tex>t = vxy</tex>. Так как хотя бы одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, то <tex>vy\neq \varepsilon</tex>. Получаем <tex>A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy</tex>.
+
*Рассмотрим выбранный ранее нетерминал <tex>A</tex>. Пусть <tex>t</tex> {{---}} строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал <tex>A</tex> содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то <tex>A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом как минимум одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть <tex>v</tex> и <tex>y</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены  соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, в данном дереве разбора. Тогда <tex>t = vxy</tex>. Так как хотя бы одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, то <tex>vy\neq \varepsilon</tex>. Получаем <tex>A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy</tex>.
*Рассмотрим стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Из <tex>S</tex> выведена строка <tex>\omega</tex>. При этом <tex>S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega </tex>, где <tex>A</tex> - выбранный ранее нетерминал. Из <tex>A</tex> в данном дереве разбора выведена строка <tex>vxy</tex>. Пусть <tex>u</tex> и <tex>z</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> в данном дереве разбора. Тогда <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega</tex>.
+
*Рассмотрим стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Из <tex>S</tex> выведена строка <tex>\omega</tex>. При этом <tex>S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega </tex>, где <tex>A</tex> {{---}} выбранный ранее нетерминал. Из <tex>A</tex> в данном дереве разбора выведена строка <tex>vxy</tex>. Пусть <tex>u</tex> и <tex>z</tex> {{---}} строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> в данном дереве разбора. Тогда <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega</tex>.
  
 
Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.
 
Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.

Версия 02:04, 24 января 2012

Лемма о разрастании для КС-грамматик

Лемма (о разрастании КС-грамматик):
Пусть [math]L[/math]контекстно-свободный язык над алфавитом [math]\Sigma[/math], тогда существует такое [math]n[/math], что для любого слова [math] \omega \in L[/math] длины не меньше [math]n[/math] найдутся слова [math] u,v,x,y,z \in \Sigma^*[/math], для которых верно: [math]uvxyz=\omega, vy\neq \varepsilon, |vxy|\leqslant n[/math] и [math]\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
CS lemma conspect.PNG
Грамматика любого контекстно-свободного языка может быть записана в нормальной форме Хомского (НФХ). Пусть [math]m[/math] — количество нетерминалов в грамматике языка [math]L[/math], записанной в НФХ.

Выберем [math]n=2^{m+1}[/math]. Построим дерево разбора произвольного слова [math]\omega[/math] длиной больше, чем [math]n[/math]. Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка [math]L[/math] записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому высота дерева разбора слова [math]\omega[/math] не меньше [math]m+1[/math].

Выберем путь от корня дерева к листу максимальной длины. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем [math]m+1[/math], следовательно, найдется такой нетерминал [math]B[/math], который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал [math]B[/math], в поддереве которого содержится нетерминал [math]B[/math]. Выберем такой нетерминал [math]A[/math], чтобы в его поддереве содержался такой же нетерминал и длина пути от него до корня была максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал.

Найдем слова [math] u,v,x,y,z [/math].

  • Рассмотрим нетерминал [math]A[/math], содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда [math]x[/math] — строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда [math]A \Rightarrow^{*} x[/math].
  • Рассмотрим выбранный ранее нетерминал [math]A[/math]. Пусть [math]t[/math] — строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал [math]A[/math] содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то [math]A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t[/math], где [math]\alpha,\beta[/math] - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом как минимум одна из строк [math]\alpha,\beta[/math] не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть [math]v[/math] и [math]y[/math] - строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], в данном дереве разбора. Тогда [math]t = vxy[/math]. Так как хотя бы одна из строк [math]\alpha,\beta[/math] не пуста, то [math]vy\neq \varepsilon[/math]. Получаем [math]A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy[/math].
  • Рассмотрим стартовый нетерминал [math]S[/math]. Из [math]S[/math] выведена строка [math]\omega[/math]. При этом [math]S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega [/math], где [math]A[/math] — выбранный ранее нетерминал. Из [math]A[/math] в данном дереве разбора выведена строка [math]vxy[/math]. Пусть [math]u[/math] и [math]z[/math] — строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] в данном дереве разбора. Тогда [math]S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega[/math].
Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: [math]S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Условие леммы не является достаточным для контекстно-свободности языка. Но, в силу необходимости условия, данная лемма часто используется для доказательства неконтекстно-свободности языков.

Пример доказательства неконтекстно-свободности языка с использованием леммы

Рассмотрим язык [math]0^{n}1^{n}2^{n}[/math]. Покажем, что он не является контекстно-свободным.

Для фиксированного [math]n[/math] рассмотрим слово [math]\omega=0^n 1^n 2^n[/math]. Пусть [math]\omega[/math] разбили на [math]u, v, x, y, z[/math] произвольным образом. Так как [math]|vxy|\leqslant n[/math], то в слове не содержится либо ни одного символа [math]0[/math], либо ни одного символа [math]2[/math]. Для любого такого разбиения выбираем [math]k=2[/math] и получаем, что количество символов [math]1[/math] изменилось, а количество либо [math]0[/math], либо [math]2[/math] осталось тем же. Очевидно, что такое слово не принадлежит рассмотренному языку. Значит, язык [math]0^{n}1^{n}2^{n}[/math] не является контекстно-свободным по лемме о разрастании для КС-грамматик.

Источники

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)