Лемма о рукопожатиях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Регулярный граф)
м (ё)
 
(не показано 16 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
+
== Неориентированный граф ==
== Лемма о рукопожатиях ==
 
==== Неориентированный граф ====
 
 
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — четное число, равное удвоенному числу ребер:
+
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — чётное число, равное удвоенному числу рёбер:
<br /> <tex> \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2 |E(G)|</tex>
+
<br /> <tex> \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2\cdot|E(G)|</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна и равна удвоенному числу ребер.
+
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин чётна и равна удвоенному числу рёбер.
 
}}
 
}}
Например, для следующего графа выполнено: <tex>deg(1)+...+deg(6)=16=2|E|</tex>
+
Например, для следующего графа выполнено: <tex>deg(1)+\ldots+deg(6)=16=2\cdot|E|</tex>
  
 
[[Файл:undir_grap.png]]
 
[[Файл:undir_grap.png]]
  
'''Следствие 1.''' В любом графе число вершин нечетной степени четно.
+
'''Следствие 1.''' В любом графе число вершин нечётной степени чётно.
  
'''Следствие 2.''' Число ребер в полном графе <tex>\frac{n(n-1)}{2} </tex>.
+
'''Следствие 2.''' Число рёбер в полном графе <tex dpi=150>\frac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>.
  
 
<br />
 
<br />
  
==== Ориентированный граф ====
+
== Ориентированный граф ==
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — четное число, равное удвоенному числу ребер:
+
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — чётное число, равное удвоенному числу рёбер:
<br /> <tex>\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2 |E(G)| </tex>
+
<br /> <tex>\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2\cdot |E(G)| </tex>
  
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:dir_grap.png|thumb|300px| <tex>deg^{-}+deg^{+}=10=2|E|</tex>]]
+
[[Файл:dir_grap.png|thumb|300px| <tex>deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|</tex>]]
 
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.  
 
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.  
То есть возьмем пустой граф и будем добавлять в него ребра. При этом каждое добавление ребра увеличивает на единицу сумму входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа четна и равна удвоенному числу ребер.
+
То есть возьмем пустой граф и будем добавлять в него рёбра. При этом каждое добавление ребра увеличивает на единицу сумму входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.
 
}}
 
}}
==== Бесконечный граф ====
+
 
 +
== Бесконечный граф ==
 
[[Файл:inf_grap.png|thumb|300px|right|Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма]]
 
[[Файл:inf_grap.png|thumb|300px|right|Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма]]
  
В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечетной степени. Покажем это на примере.
+
В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечётной степени. Покажем это на примере.
  
При выборе бесконечного пути из вершины <tex> V </tex> (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют четную степень, что противоречит следствию из леммы.
+
При выборе бесконечного пути из вершины <tex> V </tex> (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют чётную степень, что противоречит следствию из леммы.
  
==== Регулярный граф ====
+
== Регулярный граф ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
Граф называется '''регулярным''', если степени всех его вершин равны.
 
Граф называется '''регулярным''', если степени всех его вершин равны.
 
}}
 
}}
[[Файл:reg_grap.png|thumb|300px|right|Регулярный граф с <tex>\frac{kn}{2} = \frac{3*6}{2}=9 </tex> ребрами ]]
+
{{Утверждение
В регулярном графе с <tex> n </tex> вершинами ровно <tex>\frac{kn}{2} </tex> ребер.
+
|statement=
 +
В регулярном графе с <tex> n </tex> вершинами ровно <tex dpi=150>\frac{k\cdot n}{2} </tex> рёбер.
  
'''Следствие.'''
+
}}
  
Если степень каждой вершины нечетна и равна <tex> k</tex>, то количество ребер кратно <tex> k </tex>.
 
  
'''Доказательство.'''
 
  
Действительно, так как степень каждой вершины нечетна, то число вершин в графе четно(так сумма степеней всех вершин четна). Пусть <tex> n = 2r </tex>, то равенство принимает вид <tex>|E| =\frac{kn}{2} = \frac{2kr}{2}=kr </tex>, то есть количество ребер кратно <tex> k</tex>.
+
{{Утверждение
 +
|statement=Если степень каждой вершины нечётна и равна <tex> k</tex>, то количество рёбер кратно <tex> k </tex>.
 +
|proof= [[Файл:reg_grap.png|thumb|300px|right|Регулярный граф с <tex dpi=140>\frac{k\cdot n}{2} = \frac{3\cdot 6}{2}=9 </tex> рёбрами ]]
 +
Действительно, так как степень каждой вершины нечётна, то число вершин в графе чётно(так сумма степеней всех вершин чётна). Пусть <tex> n = 2\cdot r </tex>, то равенство принимает вид <tex dpi=150>|E| =\frac{k\cdot n}{2} = \frac{2\cdot k\cdot r}{2}=k\cdot r </tex>, то есть количество рёбер кратно <tex> k</tex>.
 +
}}
  
== Источники ==
+
== Источники информации ==
 
* Lecture Notes on Graph Theory By Tero Harju, Department of Mathematics University of Turku, 2011 — с. 7-8
 
* Lecture Notes on Graph Theory By Tero Harju, Department of Mathematics University of Turku, 2011 — с. 7-8
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma Handshaking lemma — Wikipedia]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma Handshaking lemma — Wikipedia]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Текущая версия на 00:12, 31 января 2017

Неориентированный граф[править]

Лемма:
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — чётное число, равное удвоенному числу рёбер:
[math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2\cdot|E(G)|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин чётна и равна удвоенному числу рёбер.
[math]\triangleleft[/math]

Например, для следующего графа выполнено: [math]deg(1)+\ldots+deg(6)=16=2\cdot|E|[/math]

Undir grap.png

Следствие 1. В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Следствие 2. Число рёбер в полном графе [math]\frac{n\cdot(n-1)}{2} [/math].


Ориентированный граф[править]

Лемма:
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — чётное число, равное удвоенному числу рёбер:
[math]\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2\cdot |E(G)| [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|[/math]

Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.

То есть возьмем пустой граф и будем добавлять в него рёбра. При этом каждое добавление ребра увеличивает на единицу сумму входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.
[math]\triangleleft[/math]

Бесконечный граф[править]

Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма

В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечётной степени. Покажем это на примере.

При выборе бесконечного пути из вершины [math] V [/math] (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют чётную степень, что противоречит следствию из леммы.

Регулярный граф[править]

Определение:
Граф называется регулярным, если степени всех его вершин равны.
Утверждение:
В регулярном графе с [math] n [/math] вершинами ровно [math]\frac{k\cdot n}{2} [/math] рёбер.


Утверждение:
Если степень каждой вершины нечётна и равна [math] k[/math], то количество рёбер кратно [math] k [/math].
[math]\triangleright[/math]
Регулярный граф с [math]\frac{k\cdot n}{2} = \frac{3\cdot 6}{2}=9 [/math] рёбрами
Действительно, так как степень каждой вершины нечётна, то число вершин в графе чётно(так сумма степеней всех вершин чётна). Пусть [math] n = 2\cdot r [/math], то равенство принимает вид [math]|E| =\frac{k\cdot n}{2} = \frac{2\cdot k\cdot r}{2}=k\cdot r [/math], то есть количество рёбер кратно [math] k[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации[править]