Лемма о рукопожатиях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Бесконечный граф)
Строка 29: Строка 29:
 
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.
 
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.
 
}}
 
}}
 
==== Регулярный граф ====
 
В графе с <tex> n </tex> вершинами, степени которых равны <tex> k</tex> (регулярный граф), ровно <tex>\frac{kn}{2} </tex> ребер.
 
 
''Следствие'' Если степень каждой вершины нечетна и равна <tex> k</tex>, то количество ребер кратно <tex> k </tex>.
 
  
 
==== Бесконечный граф ====
 
==== Бесконечный граф ====
[[Файл:inf_grap.png|thumb|325px|right|Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма]]
+
[[Файл:inf_grap.png|thumb|300px|right|Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма]]
  
 
В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечетной степени. Покажем это на примере.
 
В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечетной степени. Покажем это на примере.
  
 
При выборе бесконечного пути из вершины <tex> V </tex> (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют четную степень, что противоречит следствию из леммы.
 
При выборе бесконечного пути из вершины <tex> V </tex> (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют четную степень, что противоречит следствию из леммы.
 +
 +
==== Регулярный граф ====
 +
В графе с <tex> n </tex> вершинами, степени которых равны <tex> k</tex> (регулярный граф), ровно <tex>\frac{kn}{2} </tex> ребер.
 +
 +
''Следствие'' Если степень каждой вершины нечетна и равна <tex> k</tex>, то количество ребер кратно <tex> k </tex>.
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==

Версия 14:26, 9 декабря 2012

Лемма о рукопожатиях

Неориентированный граф

Лемма:
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2 |E(G)|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна и равна удвоенному числу ребер.
[math]\triangleleft[/math]


Следствие 1 В любом графе число вершин нечетной степени четно

Следствие 2 Число ребер в полном графе [math]\frac{n(n-1)}{2} [/math]

Ориентированный граф

Лемма:
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math]\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2 |E(G)| [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.
[math]\triangleleft[/math]

Бесконечный граф

Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма

В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечетной степени. Покажем это на примере.

При выборе бесконечного пути из вершины [math] V [/math] (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют четную степень, что противоречит следствию из леммы.

Регулярный граф

В графе с [math] n [/math] вершинами, степени которых равны [math] k[/math] (регулярный граф), ровно [math]\frac{kn}{2} [/math] ребер.

Следствие Если степень каждой вершины нечетна и равна [math] k[/math], то количество ребер кратно [math] k [/math].

Источники