Лемма о рукопожатиях

Материал из Викиконспекты
Версия от 23:13, 13 октября 2010; Kot (обсуждение | вклад) (Лемма о рукопожатиях для ориентированного графа)
Перейти к: навигация, поиск

Лемма о рукопожатиях

Лемма о рукопожатиях для неориентированного графа

Лемма:
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2 |E(G)|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна и равна удвоенному числу ребер.
[math]\triangleleft[/math]


Следствие 1 В любом графе число вершин нечетной степени четно

Следствие 2 Число ребер в полном графе [math]\frac{n(n-1)}{2} [/math]

Лемма о рукопожатиях для ориентированного графа

Лемма:
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg_{-}\v + \sum\limits_{v\in V(G)} deg_{+}\ v = 2 |E(G)| [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству о неориентированном графе.
[math]\triangleleft[/math]