Линейность математического ожидания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
1.<tex>f(x+y)=f(x)+f(y)</tex>
 
1.<tex>f(x+y)=f(x)+f(y)</tex>
  
{{|proof= }}
+
{{
 +
|proof=
 +
}}
  
 
2.<tex>f(\alpha x)=\alpha f(x)</tex>  
 
2.<tex>f(\alpha x)=\alpha f(x)</tex>  

Версия 03:01, 17 декабря 2010

Линейность

Покажем что математическое ожыдание линейно. Для етого докажем следующие утверждение 1.[math]f(x+y)=f(x)+f(y)[/math]

{{ |proof= }}

2.[math]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/math] Рассмотрим множество [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math]. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим функцию [math]T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x[/math]. Заметим, что

  • [math]T(g)\circ T(h) = T(g*h)[/math].

Действительно, для всех [math]x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)[/math], а тогда [math]T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)[/math].

  • [math]T[/math] - инъекция, потому что [math]f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'[/math].
  • Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math].

То есть [math]T[/math] - гомоморфизм, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.

}}

Источники

Полужирное начертание