Линейные ограниченные операторы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} Категория: Функциональный анализ 3 курс»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
 +
Будем рассматривать пару пространств <tex>X, Y</tex> и оператор <tex>A: X \to Y</tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Оператор <tex>A</tex> называется '''линейным''', если <tex>A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
 +
}}
 +
 +
 +
Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности (копипаста из 2 семестра)
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
 +
|proof=
 +
# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
 +
#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>
 +
#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.
 +
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
 +
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:
 +
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \to ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
 +
#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.
 +
#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \to \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
 +
#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
 +
#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>Y</tex> - линейное множество, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \to Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
 +
Тогда <tex>\exists ! B: X \to Z</tex>:
 +
# <tex>B|_Y = A</tex>
 +
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
 +
|proof=
 +
Так как <tex>Cl Y = X</tex>, то для любого <tex>x</tex> из <tex>X</tex> можно подобрать последовательность <tex>y_n \in Y: y_n \to x</tex>.
 +
 +
<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.
 +
 +
<tex>\{ z_n \}</tex> сходится в себе, следовательно, в силу банаховости <tex>Z</tex>, <tex>\{ z_n \}</tex> сходится, <tex>\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n</tex>
 +
 +
<tex>z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n</tex>
 +
 +
Оператор <tex>B</tex> линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения:
 +
 +
Пусть <tex>y_n' \to x</tex>, тогда <tex>\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0</tex>, то есть, <tex>\lim Ay_n' = \lim Ay_n</tex>, и оператор определен корректно.
 +
 +
"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"{{TODO|t=написать о тривиальном. Наверняка также как в [[Линейные функционалы#densefunextension]], но лучше бы все равно написать, а то мало ли}}
 +
}}
 +
 +
Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, тогда <tex>L(X, Y)</tex> тоже банахово.
 +
|proof=
 +
Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов <tex>A_n</tex> в <tex>L(X, Y)</tex>.
 +
 +
Для произвольного <tex>x \in X</tex> рассмотрим <tex>\{A_n x\}</tex>:
 +
 +
<tex>\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0</tex>
 +
 +
Так как <tex>\{A_nx\}</tex> сходится в себе, то существует <tex>y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax</tex>.
 +
 +
Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>.
 +
 +
Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N: \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.
 +
 +
По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1: \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.
 +
 +
Значит, для любого <tex>x</tex> можно выбрать <tex>n_1(x) \ge N, N_1(x)</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.
 +
 +
Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
 +
}}
 +
 +
Примеры:
 +
* <tex>A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex> — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора.
 +
* <tex>X = C[0, 1]</tex>, <tex>K</tex> - непрерывная на <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex> функция, <tex>x \in X</tex>. <tex>A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds</tex> {{---}} интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен, а так как <tex>|K(t, S)| \le M</tex>, то <tex>|A(x, t)| \le M \|x\|</tex>, то ограничен.
 +
 +
Сама по себе задача вычисления <tex>\|A\|</tex> может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.
 +
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator Bounded operator]
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать пару пространств [math]X, Y[/math] и оператор [math]A: X \to Y[/math].


Определение:
Оператор [math]A[/math] называется линейным, если [math]A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)[/math].


Определение:
Нормой оператора [math]A[/math] называется [math]\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|[/math].


Определение:
Оператор [math]A[/math] ограничен, если [math]\|A\| \le \infty[/math].


Определение:
Оператор [math]A[/math] непрерывен в точке [math]x_0[/math], если [math]\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0[/math].


Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности (копипаста из 2 семестра)

Теорема:
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. [math]\mathcal{A}[/math] — ограничен, значит, [math] \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0[/math]
    [math]\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| [/math]
    [math] \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 [/math].
    А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
  2. Пусть [math]\mathcal{A}[/math] — непрерывен на X, в частности, в [math]0[/math], тогда:
    Подставляем в определение [math]\varepsilon = 1: ~ \exists \delta \gt 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \to ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1[/math]
    • Для [math]x = 0[/math] условие ограничения будет соблюдено при любом [math]m[/math].
    • Для [math]x \ne 0[/math] рассмотрим [math]z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad[/math]        [math] \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} \lt \delta \to \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 [/math]
      Но [math]\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) [/math]. Значит, [math] \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1[/math], таким образом, [math] \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|[/math]
    Выберем [math] m = \frac2{\delta} [/math], и получим, что оператор ограничен.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]Y[/math] - линейное множество, [math]Cl Y = X[/math], [math]A: Y \to Z[/math] - линейный ограниченный оператор, [math]Z[/math] — банахово.

Тогда [math]\exists ! B: X \to Z[/math]:

  1. [math]B|_Y = A[/math]
  2. [math]\|B\| = \|A\|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как [math]Cl Y = X[/math], то для любого [math]x[/math] из [math]X[/math] можно подобрать последовательность [math]y_n \in Y: y_n \to x[/math].

[math]z_n = Ay_n \in Z[/math], [math]\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0[/math].

[math]\{ z_n \}[/math] сходится в себе, следовательно, в силу банаховости [math]Z[/math], [math]\{ z_n \}[/math] сходится, [math]\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n[/math]

[math]z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n[/math]

Оператор [math]B[/math] линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения:

Пусть [math]y_n' \to x[/math], тогда [math]\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0[/math], то есть, [math]\lim Ay_n' = \lim Ay_n[/math], и оператор определен корректно.

"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"

TODO: написать о тривиальном. Наверняка также как в Линейные функционалы#densefunextension, но лучше бы все равно написать, а то мало ли
[math]\triangleleft[/math]

Обычно пространство линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math] обозначают как [math]L(X, Y)[/math].

Теорема:
Пусть [math]Y[/math] — банахово, тогда [math]L(X, Y)[/math] тоже банахово.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов [math]A_n[/math] в [math]L(X, Y)[/math].

Для произвольного [math]x \in X[/math] рассмотрим [math]\{A_n x\}[/math]:

[math]\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0[/math]

Так как [math]\{A_nx\}[/math] сходится в себе, то существует [math]y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax[/math].

Проверим, что [math]A[/math] — линейный ограниченный оператор, [math]A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n[/math]. Рассмотрим [math]\|x\| \le 1[/math].

Так как [math]\{A_n\}[/math] сходится в себе, то [math]\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N: \| A_n - A_m \| \lt \varepsilon[/math].

По определению [math]A[/math], [math]\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1: \| A_n x - A x \| \lt \varepsilon[/math].

Значит, для любого [math]x[/math] можно выбрать [math]n_1(x) \ge N, N_1(x)[/math], такое, что [math]\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon[/math].

Таким образом, [math]\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры:

  • [math]A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/math] — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора.
  • [math]X = C[0, 1][/math], [math]K[/math] - непрерывная на [math][0, 1] \times [0, 1][/math] функция, [math]x \in X[/math]. [math]A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds[/math] — интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен, а так как [math]|K(t, S)| \le M[/math], то [math]|A(x, t)| \le M \|x\|[/math], то ограничен.

Сама по себе задача вычисления [math]\|A\|[/math] может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.

Ссылки