Линейные операторы в нормированных пространствах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 31 промежуточная версия 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}<br>
+
[[Нормированные пространства|<<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]]
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~A\colon X \to Y</tex>. <tex>A</tex> называется линейным оператором, если <tex>A \left ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha A \left ( x \right )+\beta A \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}
+
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>
Из того факта, что <tex>A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )</tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br>
+
}}
 +
Из того факта, что <tex>\mathcal{A} \left( \alpha x \right) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) \forall \alpha \in \mathbb {R} </tex>, следует, что <tex> \mathcal{A} \left( 0 \right) =0 </tex>.
 +
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}
+
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R}, m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>
+
}}
 +
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( x+\mathcal{4}x \right )=A\left (x \right ) </tex> }}
+
Л.о. непрерывен в точке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
В силу линейности непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br>
+
}}
<tex> \vartriangleright </tex> Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0</tex><br>
+
 
<tex> \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex><br>
+
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:
<tex>A  \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft</tex><br>
+
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> \lim\limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0</tex>
 +
 
 +
<tex> \left \| \mathcal{A}( x + \Delta x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \Delta x \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>
 +
 
 +
Значит, <tex>\mathcal{A} \left ( x + \Delta x \right )\xrightarrow [\Delta x \to 0]{} \mathcal{A}(x) </tex>, и <tex> \mathcal{A} </tex> непрерывен в <tex> x </tex> по определению.
 +
}}
 +
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Л.о. непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен:
+
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
 +
|proof=
 +
# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
 +
#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>
 +
#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.
 +
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
 +
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:
 +
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
 +
#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.
 +
#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
 +
#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
 +
#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
При <tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex>, имеем
 +
<tex>\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|</tex>
 +
 
 +
<tex>\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex>
 +
 
 +
Норма оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:
 +
# <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0</tex>
 +
# <tex>\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|</tex>
 +
# <tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>
 +
Докажем свойство 3:
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>
 +
|proof=
 +
Рассмотрим <tex>x</tex>, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1</tex>.
 +
 
 +
<tex> \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 </tex>
 +
}}
 +
 
 +
<tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z</tex>
 +
 
 +
<tex>\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )</tex>
 +
 
 +
<tex>\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n</tex>
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>\|\mathcal{BA}\| \leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\| </tex>
 +
|proof=
 +
<tex>\forall x : \|x\| < 1 : \|\mathcal{BA}x\| = \mathcal{B}(\mathcal{A}x) </tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}\| \cdot \|x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\|</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай:
 +
 
 +
<tex>\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=
 +
\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} \left (\overline {x} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) </tex>
 +
 
 +
Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.
 +
 
 +
<tex>\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex>
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
1) A — ограничен, значит, <tex> \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
+
<tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>.
<tex>\left \| A \left ( \mathcal {4} x \right ) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \|.~ A \left ( \mathcal {4} x \right )\xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex> А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
+
 
2) A — непрерывен на X, <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} A \left ( x \right )</tex><br>
+
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
<tex>\varepsilon = 1: \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\mathcal{4}x \to 0</tex> <tex>\left \| A \left ( x \right ) \right \| \le \varepsilon = 1</tex><br>
+
 
<tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.~ \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta</tex><br>
+
Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.
<tex>\left \| A \left ( z \right ) \right \| \le 1.~A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} A \left ( x \right )</tex>
+
 
<tex>A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \left \| Ax \right \| \le 1</tex>, таким образом, <tex>Ax \le \frac {2 \left \| x \right \|}{\delta}</tex><br>
+
Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора:
Очевидно, это верно и для <tex>x=0</tex>.
+
 
 +
<tex>\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j} </tex>
 +
 
 +
<tex> y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex>.
 +
 
 +
<tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|^2</tex>
 +
 
 +
<tex>\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|</tex>
 +
 
 +
Таким образом, финальная оценка — <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.
 
}}
 
}}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| A \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|</tex>.}}
+
'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex> H </tex> - гильбертово пространство.
{{TODO| t = следующие три строчки — ваще какое-то наркоманство. кто-нибудь, позязя, поясните это.}}<br>
+
}}
<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex><br>
+
 
<tex>\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|</tex><br>
+
{{Теорема
<tex>Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}, \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex><br><br>
+
|statement=
<tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br>
+
Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:
1) <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0</tex><br>
+
# <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>
2) <tex>\left \| \alpha A \right \| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|</tex><br>
+
# <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>
3) <tex>\left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|</tex><br><br>
+
|proof=
Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Примеры:<br><br>
+
Для <tex> x_0 = 0 </tex> подойдет любой линейный функционал, такой, что <tex> \|f\| = 1 </tex>, поэтому рассмотрим <tex> x_0 \ne 0 </tex>.
Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex><br>
+
 
<tex>~A\colon X \to Y, ~B\colon Y \to Z</tex><br>
+
Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство(гильбертово). Фиксируем <tex> y \in H </tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. <tex>f</tex> — линейный функционал.
<tex>B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, \left ( BA \right ) \left ( x \right ) = B \left ( A \left ( x \right ) \right )</tex><br>
+
 
<tex>\left \| BA \right \| \le \left \| B \right \| \cdot \left \| A \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| A^n \right \| \le \left \| A \right \|^n</tex><br><br>
+
По неравенству Шварца, <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>.
Рассмотрим частный случай:<br>
+
 
<tex>A\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb R, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=
+
<tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>.
\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>A \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k A \left ( \overline {e_k} \right ) </tex><br>
+
 
Таким образом, если оператор действует из конечномеронго пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>A \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.<br>
+
Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>. Как раз это нам и нужно.
<tex>A \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex><br>
+
 
<tex>\overline y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>A \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow A = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а <tex>A \overline x <tex> результат действия л.о. <tex>A<tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведений матрицы <tex>A</tex> и столбца <tex>x<tex>.
+
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <tex>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>
 +
|about=Разделение точек
 +
|proof=
 +
Рассмотрим <tex>x-y</tex>. <tex>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>.
 +
По линейности, <tex>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <tex>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
[[Нормированные пространства|<<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

<< >>

Определение:
Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~\mathcal{A}\colon X \to Y[/math]. [math]\mathcal{A}[/math] называется линейным оператором, если [math]\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math]

Из того факта, что [math]\mathcal{A} \left( \alpha x \right) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) \forall \alpha \in \mathbb {R} [/math], следует, что [math] \mathcal{A} \left( 0 \right) =0 [/math].


Определение:
Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R}, m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math]


Определение:
Л.о. непрерывен в точке [math]x[/math], если [math]\lim \limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math]


Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:

Лемма:
Непрерывность оператора в точке [math]x[/math] совпадает с его непрерывностью в точке [math]0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] \lim\limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0[/math]

[math] \left \| \mathcal{A}( x + \Delta x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \Delta x \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 [/math]

Значит, [math]\mathcal{A} \left ( x + \Delta x \right )\xrightarrow [\Delta x \to 0]{} \mathcal{A}(x) [/math], и [math] \mathcal{A} [/math] непрерывен в [math] x [/math] по определению.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. [math]\mathcal{A}[/math] — ограничен, значит, [math] \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0[/math]
    [math]\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| [/math]
    [math] \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 [/math].
    А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
  2. Пусть [math]\mathcal{A}[/math] — непрерывен на X, в частности, в [math]0[/math], тогда:
    Подставляем в определение [math]\varepsilon = 1: ~ \exists \delta \gt 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1[/math]
    • Для [math]x = 0[/math] условие ограничения будет соблюдено при любом [math]m[/math].
    • Для [math]x \ne 0[/math] рассмотрим [math]z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad[/math]        [math] \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} \lt \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 [/math]
      Но [math]\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) [/math]. Значит, [math] \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1[/math], таким образом, [math] \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|[/math]
    Выберем [math] m = \frac2{\delta} [/math], и получим, что оператор ограничен.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Нормой ограниченного оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|[/math].


При [math]x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1[/math], имеем [math]\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|[/math]

[math]\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}[/math], таким образом, [math] \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X[/math]

Норма оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:

  1. [math]\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0[/math]
  2. [math]\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|[/math]
  3. [math]\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|[/math]

Докажем свойство 3:

Утверждение:
[math]\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|[/math]
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]x[/math], такой, что [math]\left \| x \right \| \le 1[/math].

[math] \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 [/math]
[math]\triangleleft[/math]

[math]~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z[/math]

[math]\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )[/math]

[math]\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| [/math], в частности, [math]\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n[/math]

Утверждение:
[math]\|\mathcal{BA}\| \leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\| [/math]
[math]\triangleright[/math]
[math]\forall x : \|x\| \lt 1 : \|\mathcal{BA}x\| = \mathcal{B}(\mathcal{A}x) [/math] [math]\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}x\|[/math] [math]\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}\| \cdot \|x\|[/math] [math]\leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай:

[math]\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k= \left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle[/math]. Тогда [math]\mathcal{A} \left (\overline {x} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) [/math]

Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, [math]\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'[/math].

[math]\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' [/math]

Утверждение:
[math]\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k[/math] — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: [math]\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )[/math], где [math]j[/math] и [math]k[/math] пробегают от [math]1[/math] до [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, а [math]\mathcal{A} \overline x [/math] — результат действия л.о. [math]\mathcal{A}[/math] на точку [math]\overline x[/math] можно представить в виде произведения матрицы [math]\mathcal{A}[/math] и столбца [math]x[/math].

В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math] (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math]

Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.

Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора:

[math]\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j} [/math]

[math] y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 [/math].

[math]\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|^2[/math]

[math]\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|[/math]

Таким образом, финальная оценка — [math]\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math]. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Линейный функционал - линейный оператор вида [math] \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} [/math], где [math] H [/math] - гильбертово пространство.


Теорема:
Для любого [math] x_0 \in H [/math] существует ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами:
  1. [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]
  2. [math]\left \| f \right \| = 1[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для [math] x_0 = 0 [/math] подойдет любой линейный функционал, такой, что [math] \|f\| = 1 [/math], поэтому рассмотрим [math] x_0 \ne 0 [/math].

Рассмотрим [math]H[/math]-пространство(гильбертово). Фиксируем [math] y \in H [/math] и определим [math]f\left ( x \right )=\left (x,y\right)[/math]. [math]f[/math] — линейный функционал.

По неравенству Шварца, [math] \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|[/math], следовательно, [math] \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|[/math].

[math]\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1[/math].

Рассмотрим [math] f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]. Как раз это нам и нужно.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (Разделение точек):
[math]\forall x \ne y\ \exists[/math] линейный функционал [math]\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math]
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]x-y[/math]. [math]\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|[/math].

По линейности, [math]\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y[/math]. Значит, [math]\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math].
[math]\triangleleft[/math]

<< >>