Линейные функционалы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 17 промежуточных версий 10 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
|definition=
 
|definition=
 
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
 
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.
+
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</tex>.
  
 
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
 
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
Строка 26: Строка 26:
 
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>
 
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>
  
3. Транзитивность: <tex>x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>
+
3. Транзитивность: <tex>x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 85: Строка 85:
 
Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:
 
Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:
 
{{TODO | t = упражнение}}
 
{{TODO | t = упражнение}}
 +
 +
(все шаги "туда" вроде бы равносильны)
 
}}
 
}}
  
Строка 91: Строка 93:
 
|statement=
 
|statement=
  
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>
+
Если <tex> f </tex> не является тождественно равным нулю, то <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
  
 
|proof=
 
|proof=
 +
 +
[http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8B Более подробно]
  
 
Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы  <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.
 
Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы  <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Предстваление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть протипоречие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
+
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Представление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть противоречие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 103: Строка 107:
 
Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.
 
Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.
  
Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.  
+
Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.
  
 
== Непрерывность функционала ==
 
== Непрерывность функционала ==
Строка 199: Строка 203:
 
<tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0
 
<tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0
 
\\
 
\\
\implies f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.
+
\implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.
  
Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
+
Таким образом, предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
  
 
Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:
 
Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:
Строка 207: Строка 211:
 
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
 
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
 
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
 
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
+
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
 
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
 
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
 +
* единственность: любой функционал <tex>g</tex>, удовлетворяющий условию теоремы, непрерывен,  а значит из <tex>y_n \rightarrow x</tex> следует <tex>g(y_n) \rightarrow g(x)</tex>, но <tex>y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f(y_n)</tex>, то есть <tex>g(x) = \lim f(y_n)</tex>, то есть такой функционал может определяться только формулой выше.
 
}}
 
}}
  
Строка 217: Строка 222:
 
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff  \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
 
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff  \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
*<tex>\implies</tex>
+
<tex>\implies</tex>:
 +
 
 
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
 
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, ~ <tex>f(x_n) = 0, f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
+
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, все <tex>f(x_n) = 0</tex>, значит, и <tex>f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.
+
то есть оно содержит пределы своих подпоследовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.
* <tex>\Leftarrow </tex>
 
<tex>\mathrm{Ker}</tex> {{---}} замкнуто. <tex>\mathrm{Cl}\, \mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Ker}\, f</tex>. Если <tex>x_n \in X ,\, x_n \to x \stackrel{?}{\implies} f(x_n) \to f(x)</tex>.<br>
 
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1</tex>, значит мы сможем представить <tex>x_n</tex> и <tex>x</tex> следуюшим образом:<br>
 
<tex>x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker}\, f, \, e \in X</tex>
 
<tex>x = y + te </tex>.
 
 
 
Проверим <tex> x_n \to x \stackrel{?}{\implies} t_n \to t </tex>.
 
  
Достаточно доказать, что <tex>\{ t_{n_k} \} \to t </tex>.
+
<tex>\Longleftarrow </tex>:
 
+
{{TODO|t=тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с [http://en.wikibooks.org/wiki/Functional_Analysis/Banach_spaces английской википедии]}}
Пусть <tex> t_{n_k} \to t' \implies t_{n_k} e \to t'e</tex>
 
 
 
<tex> x_{n_k} (\to x) = y_{n_k} + t_{n_k} e (\to t'e)</tex> (по условию <tex>x_n \to x</tex>)
 
 
 
Значит <tex>y_{n_k} \to y'</tex> (и <tex> x = y' + t'e</tex>)
 
 
 
В силу замкнутости ядра т.к. <tex>y_{n_k} \in \mathrm{Ker}\, f \implies y' \in \mathrm{Ker}\, f </tex>
 
 
 
Значит мы записали <tex> x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker}\, f</tex>. Отсюда, т.к. представление единственно и <tex>t'=t</tex>, получаем, что в выражении <tex>x_n = y_n + t_ne, \, x_n \to x,\, y_n \to y,\, t_n \to t </tex>
 
 
 
<tex>f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \to tf(e) = f(y + te) = f(x)</tex>
 
  
 +
Покажем, что если <tex>f</tex> не ограничен, <tex>\mathrm{Ker}\, f</tex> — не замкнуто в <tex>X</tex>. Рассмотрим определение неограниченности: <tex>\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n </tex> (заметим, что в классическом определении <tex>|f(u_n)| \ge n</tex>, однако по линейности пространства если оказалось, что <tex>f(u_n) \le -n</tex>, возьмем <tex>-u_n: f(-u_n) \ge n</tex>), теперь определим последовательность <tex>v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}</tex>, очевидно, <tex>\|v_n\| \le \frac{1}{n}</tex>, то есть <tex>v_n \to 0</tex>. Теперь возьмем <tex> a \notin \mathrm{Ker}\, f</tex> и определим последовательность <tex>z_n = a - f(a) v_n</tex>. Каждый элемент <tex>z_n</tex> содержится в ядре, так как <tex>f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0</tex> (воспользуемся тем, что <tex>f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1</tex>). Однако последовательность <tex>z_n</tex> стремится к <tex>a</tex>, так как <tex>v_n \to 0</tex>, то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.
 
}}
 
}}
  
Строка 261: Строка 250:
 
По уже доказанному, коразмерность ядра равна 1, $H = H_1 \oplus H_1^{\perp}$ и существует $e \in H_1^{\perp}$, что у любого $x \in H$ существует единственное разложение $x = x_1 + t e, x_1 \in H_1$.  
 
По уже доказанному, коразмерность ядра равна 1, $H = H_1 \oplus H_1^{\perp}$ и существует $e \in H_1^{\perp}$, что у любого $x \in H$ существует единственное разложение $x = x_1 + t e, x_1 \in H_1$.  
  
Тогда $f(x) = f(x_1) + f(t e) = t f(e)$. $\forall y \in H_1^{\perp}: \langle x, y \rangle = \langle x_1 + te, y \rangle = \langle x_1, y\rangle + \langle te, y \rangle = t \langle e, y \rangle$.  
+
Тогда $f(x) = f(x_1) + f(t e) = t f(e)$.  
 +
 
 +
$\forall y \in H_1^{\perp}: \langle x, y \rangle = \langle x_1 + te, y \rangle = \langle x_1, y\rangle + \langle te, y \rangle = t \langle e, y \rangle$.  
  
 
Добьемся того, чтобы $f(e)$ было равно $\langle e, y \rangle$: пусть $y = \alpha e$, тогда $\langle e, y \rangle = \alpha \|e\|^2 = f(e)$, то есть $\alpha = {f(e) \over \|e\|^2}$.  
 
Добьемся того, чтобы $f(e)$ было равно $\langle e, y \rangle$: пусть $y = \alpha e$, тогда $\langle e, y \rangle = \alpha \|e\|^2 = f(e)$, то есть $\alpha = {f(e) \over \|e\|^2}$.  
Строка 272: Строка 263:
 
}}
 
}}
  
Ссылочки:
+
== Ссылки ==
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]

Текущая версия на 00:25, 18 января 2017


Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math]линейный функционал, если

[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)[/math].

Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math]ядро функционала.


Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math]: Пусть [math]x, y \in \mathrm{Ker}\, f[/math], тогда [math]f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f[/math].

Коразмерность[править]

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]

2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]

3. Транзитивность: [math]x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]


Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math].

Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]:

[math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math]

[math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math]классы смежности по [math]Y[/math].

[math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по [math]Y[/math].


Операции над классами смежности:

[math] [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] [/math]

[math] \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] [/math]

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:


Определение:
[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math]коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math]гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].


Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

Утверждение:
[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X [/math] такие, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y[/math].
[math]\triangleright[/math]

Замечание: для [math]n = 1[/math]: если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X [/math] такое, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \alpha e + y, ~ y \in Y[/math].

Доказательство [math]\implies[/math]:

[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y [/math] — базис [math] X /_Y [/math]. [math] \forall \xi \in X /_Y [/math] единственным образом [math]\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Рассмотрим [math] \forall x \in X [/math], [math] [x] \in X /_Y [/math] и его представление [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Пусть [math] \xi_k = [ e_k ] [/math], то есть [math] [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] [/math]. Следовательно, по определению [math] [ x ] [/math], [math] x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k [/math] [math] \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y [/math] ­— разложение [math] x [/math]. Единственность следует из единственности разложения по базису [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Доказательство [math] \Longleftarrow [/math]:

TODO: упражнение

(все шаги "туда" вроде бы равносильны)
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (Коразмерность ядра функционала):
Если [math] f [/math] не является тождественно равным нулю, то [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Более подробно

Рассмотрим [math]x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 [/math]. Возьмем [math]\forall x \in X[/math], подберем [math]\alpha[/math] такое, чтобы [math]y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f[/math].

[math]f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} [/math]. Представление единственно: пусть есть два представления [math]x = \alpha x_0 + y[/math] и [math]x = \beta x_0 + y'[/math], тогда [math](\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0[/math]. Применим к обеим частям [math]f[/math], тогда [math](\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)[/math], так как [math] y - y' [/math] в ядре, получили [math] f(x_0) = 0[/math], то есть противоречие. Нашли единственное представление, следовательно, по предыдущему утверждению, [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить [math]X[/math] в ТВП. Наиболее важный случай — когда [math]X[/math] является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

Непрерывность функционала[править]

Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math]непрерывен в точке [math] x [/math], если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math].


Далее: [math] \| \cdot \| [/math] — норма на [math] X [/math].

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

Утверждение:
Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] непрерывен в нуле.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] x_n \to 0 [/math]. [math] f(x_n) \to f(0) = 0 [/math]. Проверим непрерывность [math]f[/math]:

[math] x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0 [/math]

[math]f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Обозначение [math] \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} [/math]

Введем норму в [math] X^* [/math]:

[math] \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} [/math]


Определение:
[math] f [/math] ­— ограниченный функционал, если [math] \| f \| \lt \infty [/math].


Отметим, что для ограниченного функционала: [math] \forall x \in X, x \not = 0[/math]

[math] \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies \left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies \\ | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math]


Утверждение:
[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.
[math]\triangleright[/math]

1) [math]f[/math] ­— ограничен [math] \implies \| f \| \lt \infty [/math]. Как отмечалось ранее: [math] | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math]

Рассмотрим [math] x_n \to 0 \implies \| x_n \| \to 0 \implies | f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies f(x_n) \to 0 \implies f[/math] — непрерывен.

2) [math]f[/math] — непрерывен. Пусть [math] \| f \| = \infty [/math], тогда по определению [math] \| f \| [/math]:

[math] \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | \gt n \implies [/math] по линейности [math] \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| \gt 1 [/math].

[math] \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| [/math], так как [math] x_n \in \overline{V}_1 \implies \frac1n \| x_n \| \leq \frac1n[/math]

[math] n \to \infty, \quad \frac1n \to 0, \quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies \frac{x_n}{n} \to 0 \implies [/math]

по непрерывности [math] f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 [/math]. Пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math] X^* [/math] обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что [math]\|f\|[/math] — норма, проверяется так же, как свойства нормы линейного оператора, то есть получили, что [math]X^*[/math] — НП, сопряженное с [math]X[/math].

Утверждение:
Пусть [math] Y [/math] — линейное всюду плотное в [math] X [/math] множество.

[math] f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] Y [/math]. Тогда существует единственный [math] \widetilde f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] X [/math] такой, что:

1) [math] \widetilde f |_Y = f [/math] — сужение на [math] Y [/math] совпадает с [math] f [/math].

2) [math] \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y [/math]
[math]\triangleright[/math]

TODO: Было в виде идеи, доказал Дмитрий Герасимов 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте


По определению всюду плотности, [math] \mathrm{Cl}\, Y = X [/math], то есть любое [math] \forall x \in X [/math] можно аппроксимировать последовательностями [math]y \in Y[/math]: [math] y_n \to x [/math], при этом последовательности [math]y[/math] будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность [math] \{ f(y_n) \} [/math]. Она сходится в себе, так как [math]f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)[/math], [math]y_n - y_m \in Y[/math], и как мы уже заметили, последовательность [math]y[/math] сходится в себе, тогда [math]f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|[/math], по ограниченности [math]f[/math] и сходимости в себе [math]y[/math], также сходится. Последовательность [math]f(y_n)[/math] сходится в себе, тогда по полноте [math]\mathbb{R}[/math], последовательность [math]f(y_n)[/math] также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке [math]x[/math], то есть [math] \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)[/math].

Установим единственность: Если [math]y_n \to x[/math] и [math]y'_n \to x[/math], то

[math]y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0 \\ \implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) [/math].

Таким образом, предел не зависит от выбора [math] y_n [/math].

Покажем, что [math] \widetilde f [/math] ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:

  • [math]\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)[/math]
  • [math]\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)[/math][math] = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')[/math]
  • сужение: покажем, что [math]\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)[/math], как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к [math]y[/math], тогда возьмем последовательность, состоящую только из [math]y[/math], очевидно, она сходится к [math]y[/math] и значения функционалов совпадают
  • сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на [math]\| x \| \le 1, x \in Y[/math] функционал [math]\widetilde f [/math] принимает все те значения, что и [math]f[/math], поэтому достаточно показать, что не найдется [math]x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| \gt \|f\|[/math]. Пусть такой [math]x[/math] нашелся со значением функционала [math]\widetilde f(x) \gt 0[/math], значит, он является пределом какой-то последовательности [math]y_n[/math] в [math]Y[/math]. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| \lt \varepsilon[/math], возьмем [math]\varepsilon \lt \widetilde f(x) - \|f\|[/math], тогда найдется такой номер [math]N[/math], что [math]y_N \in Y, f(y_N) \gt \|f\|[/math], то есть получили противоречие.
  • непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
  • единственность: любой функционал [math]g[/math], удовлетворяющий условию теоремы, непрерывен, а значит из [math]y_n \rightarrow x[/math] следует [math]g(y_n) \rightarrow g(x)[/math], но [math]y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f(y_n)[/math], то есть [math]g(x) = \lim f(y_n)[/math], то есть такой функционал может определяться только формулой выше.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):
[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm{Ker}\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\implies[/math]:

[math]f[/math] — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:
[math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f[/math], все [math]f(x_n) = 0[/math], значит, и [math]f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f[/math] то есть оно содержит пределы своих подпоследовательностей [math]\implies[/math] ядро замкнуто.

[math]\Longleftarrow [/math]:

TODO: тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с английской википедии

Покажем, что если [math]f[/math] не ограничен, [math]\mathrm{Ker}\, f[/math] — не замкнуто в [math]X[/math]. Рассмотрим определение неограниченности: [math]\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n [/math] (заметим, что в классическом определении [math]|f(u_n)| \ge n[/math], однако по линейности пространства если оказалось, что [math]f(u_n) \le -n[/math], возьмем [math]-u_n: f(-u_n) \ge n[/math]), теперь определим последовательность [math]v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}[/math], очевидно, [math]\|v_n\| \le \frac{1}{n}[/math], то есть [math]v_n \to 0[/math]. Теперь возьмем [math] a \notin \mathrm{Ker}\, f[/math] и определим последовательность [math]z_n = a - f(a) v_n[/math]. Каждый элемент [math]z_n[/math] содержится в ядре, так как [math]f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0[/math] (воспользуемся тем, что [math]f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1[/math]). Однако последовательность [math]z_n[/math] стремится к [math]a[/math], так как [math]v_n \to 0[/math], то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.
[math]\triangleleft[/math]

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема (Рисс):
[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math], причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

<wikitex>

Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки[править]